函数与映射 — 从高中数学到代数几何

1. 函数的严格定义（Function）

在日常生活中，"函数"无处不在：你的体重随时间变化、气温随海拔升高而降低、手机信号强度随距离衰减——这些都是一个量"决定"另一个量的关系。但在数学中，我们需要一个精确无歧义的定义。

函数的集合论定义 设 $X$ 和 $Y$ 是两个非空集合。一个从 $X$ 到 $Y$ 的函数（Function）$f: X \to Y$ 是一个规则，它对 $X$ 中的每一个元素 $x$，都恰好指定 $Y$ 中的一个元素 $y = f(x)$。 等价地，$f$ 是一个子集 $f \subseteq X \times Y$，使得对每个 $x \in X$，恰好存在唯一的 $y \in Y$ 满足 $(x, y) \in f$。 $X$ 称为定义域（Domain） $Y$ 称为陪域 / 到达域（Codomain） $f(X) = \{f(x) \mid x \in X\} \subseteq Y$ 称为值域 / 像（Range / Image）

例 1：从对应规则到严格定义 设 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$。 定义域 $X = \mathbb{R}$（所有实数） 陪域 $Y = \mathbb{R}$ 值域 $f(\mathbb{R}) = [0, +\infty)$（仅非负实数） 注意：值域可以是陪域的真子集。

想象你在寄快递：每个包裹（定义域的元素）必须发往一个且仅一个目的地（值域的元素）。但不同的"寄送方式"有不同的特性：

单射（Injection / One-to-one） $f: X \to Y$ 是单射，若对所有 $x_1, x_2 \in X$，$f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$。 直觉：不同的输入一定给出不同的输出——"不撞车"。

满射（Surjection / Onto） $f: X \to Y$ 是满射，若对每个 $y \in Y$，都存在至少一个 $x \in X$ 使得 $f(x) = y$。 直觉：值域中每个位置都被"覆盖到"——"无空位"。

双射（Bijection / One-to-one Correspondence） $f: X \to Y$ 是双射，若它既是单射又是满射。 直觉：输入和输出之间建立了"完美配对"，一一对应。

例 2：判断映射类型 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x + 1$：双射（线性函数，一一对应） $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$：非单非满（$f(-1) = f(1)$ 不单；$-1$ 不在值域中不满） $f: \mathbb{R} \to [0,+\infty)$, $f(x) = x^2$：满射但非单射 $f: [0,+\infty) \to [0,+\infty)$, $f(x) = x^2$：双射

想象流水线：第一道工序把原料变成半成品，第二道工序把半成品变成成品。数学上，两个函数"串联"就是复合。

复合函数的定义 设 $f: X \to Y$ 和 $g: Y \to Z$，则复合函数 $g \circ f: X \to Z$ 定义为： $$(g \circ f)(x) = g(f(x)), \quad \forall x \in X$$ 注意顺序：先作用 $f$，再作用 $g$，但写法是 $g \circ f$（从右往左读）。

复合的结合律 若 $f: X \to Y$, $g: Y \to Z$, $h: Z \to W$，则： $$h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$$ 即复合运算满足结合律（但一般不满足交换律：$g \circ f \neq f \circ g$）。

如果你能从输出反推出唯一的输入，那就存在"逆向操作"——反函数。就像加密和解密：加密函数把明文变成密文，解密函数把密文还原为明文。

反函数的定义 设 $f: X \to Y$ 是双射。则存在唯一的函数 $f^{-1}: Y \to X$，使得： $$f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_X, \quad f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_Y$$ 其中 $\mathrm{id}_X(x) = x$ 是恒等函数。

例 3：反函数 $f(x) = 2x + 3$，则 $f^{-1}(y) = \frac{y-3}{2}$ $f(x) = e^x$（定义域 $\mathbb{R}$，值域 $(0,+\infty)$），则 $f^{-1}(y) = \ln y$ $f(x) = x^2$（$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$）不存在反函数（因为不是双射）

数学中有几个最重要的"函数家族"，它们在代数几何的旅途中会反复出现：

你的手机GPS定位就是函数思想的应用：卫星发出信号，你的手机接收后计算到每颗卫星的距离。每颗卫星定义一个以它为圆心的圆（球），三颗卫星的三个圆交于一点——那就是你的位置！这本质上是"联立方程求解"。

练习 1：判断映射类型 判断以下映射是否为单射、满射、双射： $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $f(n) = 2n$ $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^3$ $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \sin x$ 提示 (1) 单射但非满射（奇数不在像中）；(2) 双射；(3) 非单非满（周期性且值域为$[-1,1]$）。

练习 2：求复合函数 设 $f(x) = 3x - 1$, $g(x) = x^2 + 2$。求： $(g \circ f)(x)$ $(f \circ g)(x)$ 验证 $g \circ f \neq f \circ g$ 提示 (1) $g(f(x)) = (3x-1)^2 + 2 = 9x^2 - 6x + 3$；(2) $f(g(x)) = 3(x^2+2) - 1 = 3x^2 + 5$。显然两者不等。

练习 3：反函数 求下列函数的反函数，并验证 $f^{-1}(f(x)) = x$： $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$（$x \neq 3$） $f: [0,\infty) \to [0,\infty)$, $f(x) = x^2$ 提示 (1) 令 $y = \frac{2x+1}{x-3}$，解出 $x = \frac{3y+1}{y-2}$，故 $f^{-1}(y) = \frac{3y+1}{y-2}$。(2) $f^{-1}(y) = \sqrt{y}$。