1. 坐标系与方程：用代数描述几何
笛卡尔（Descartes）在17世纪的伟大洞察：每一个几何图形都可以用方程来描述，每一个方程都对应一个几何图形。这个"方程 ↔ 图形"的对应思想，正是整个代数几何学科的DNA。
解析几何的核心思想（Analytic Geometry）
在坐标系中，一个由方程 $F(x, y) = 0$ 确定的点集：
$$C = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid F(x, y) = 0\}$$
称为曲线 $C$。这建立了代数对象（方程/多项式）与几何对象（曲线/图形）的桥梁。
2. 直线方程（Line）
直线的一般方程
平面上的每条直线都可表示为：
$$ax + by + c = 0 \quad (a, b \text{ 不同时为零})$$
特殊形式：斜截式 $y = kx + m$（斜率为 $k$，$y$ 截距为 $m$）。
两点间距离公式
$$d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$
点到直线的距离
点 $(x_0, y_0)$ 到直线 $ax + by + c = 0$ 的距离：
$$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$
3. 圆（Circle）
圆是"到定点距离为定值的所有点的集合"——这就是用集合语言定义几何图形的范例。
圆的标准方程
以 $(a, b)$ 为圆心、$r$ 为半径的圆：
$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$
展开后为一般形式：$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。
4. 圆锥曲线族（Conic Sections）
用一个平面去截一个圆锥，根据截面角度的不同，你能得到圆、椭圆、抛物线、双曲线——这四种曲线统称为圆锥曲线。惊人的是，它们全部可以用二次方程描述！
图解：四种圆锥曲线
椭圆（Ellipse）
到两定点 $F_1, F_2$（焦点）距离之和为常数的点的轨迹：
$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \quad a > b > 0$$
焦距 $c = \sqrt{a^2 - b^2}$，离心率 $e = \frac{c}{a} \in (0, 1)$。
双曲线（Hyperbola）
到两定点距离之差的绝对值为常数的点的轨迹：
$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$
渐近线：$y = \pm \frac{b}{a} x$，离心率 $e = \frac{c}{a} > 1$。
抛物线（Parabola）
到定点（焦点）和定直线（准线）距离相等的点的轨迹：
$$y^2 = 4px \quad (p > 0)$$
焦点 $(p, 0)$，准线 $x = -p$，离心率 $e = 1$。
图解：方程与图形的对应
5. 方程↔图形：从 GPS 定位看联立方程
GPS定位是解析几何最生动的应用：你的手机同时接收三颗卫星的信号，测量到每颗卫星的距离 $d_1, d_2, d_3$。每颗卫星定义一个圆（以卫星位置为圆心、距离为半径），三个圆方程联立求解——交点就是你的位置！
图解：椭圆的焦点性质
例 1：椭圆与双曲线的统一
统一方程：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
- $a, b > 0$：椭圆
- $a = b$：圆（椭圆的特例）
- $b^2 < 0$（即 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{|b|^2} = 1$）：双曲线
圆锥曲线本质上是同一个二次方程族的不同面貌！
练习
练习 1：求圆的方程
过三点 $A(0, 0)$、$B(4, 0)$、$C(0, 3)$ 的圆的方程是什么？
提示
设 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。代入三点：
$F = 0$; $16 + 4D + F = 0 \Rightarrow D = -4$; $9 + 3E + F = 0 \Rightarrow E = -3$。
答案：$x^2 + y^2 - 4x - 3y = 0$，即 $(x-2)^2 + (y-\frac{3}{2})^2 = \frac{25}{4}$。
练习 2：椭圆焦点
椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的焦点坐标和离心率是什么？
提示
$a^2 = 25$, $b^2 = 9$, $c^2 = 25 - 9 = 16$, $c = 4$。
焦点 $(\pm 4, 0)$，离心率 $e = \frac{4}{5} = 0.8$。
练习 3：思考题
为什么"用方程定义图形"的思想如此重要？试想：如果我们想研究三维空间中的曲面 $F(x,y,z) = 0$，需要什么新的数学工具？
思考方向
这正是代数几何要解决的核心问题！从 $\mathbb{R}^2$ 推广到 $\mathbb{R}^n$（乃至更抽象的空间），从单个方程推广到方程组——引出"仿射簇"、"射影簇"的概念。