如果说向量空间是"舞台"，那么线性映射就是"舞台上的演员"——它们把一个向量空间"搬运"到另一个向量空间，并且保持加法与数乘的结构。可以这样理解：
线性映射 = 把空间整体"拉伸、旋转、压缩、投影"，但不弯曲、不撕裂。
这一章我们要回答四个核心问题：什么样的"搬运"算线性？怎样用矩阵描述它？映射会丢掉哪些信息（核），又能到达哪里（像）？以及最深刻的——秩-零度定理把这两者通过维度联系了起来。
1. 线性映射的定义
线性映射（Linear Map / Linear Transformation）
设 $V$、$W$ 是同一个域 $k$（如 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$）上的向量空间。一个映射 $T: V \to W$ 称为线性映射，若对任意 $u, v \in V$ 与任意 $\alpha, \beta \in k$ 都有：
$$T(\alpha u + \beta v) = \alpha\, T(u) + \beta\, T(v)$$
等价地，$T$ 满足以下两条性质：
- (加法性) $T(u+v) = T(u) + T(v)$
- (齐次性) $T(\alpha v) = \alpha T(v)$
当 $V = W$ 时，$T$ 也称为 $V$ 上的线性算子（linear operator）。
直觉上，线性映射有两条"红线"必须坚守：
- 原点不动：$T(0) = T(0\cdot v) = 0\cdot T(v) = 0$。任何把原点搬走的"映射"都不是线性的。
- 保持网格：把 $V$ 中等间距的网格送到 $W$ 中（可能歪斜的）等间距网格——网格仍然平直、仍然平行、仍然等距。
例 1：哪些是线性映射？
- $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$，$T(x,y) = (2x+y, x-3y)$ ✅ 线性
- $T: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$，$T(x) = 5x$ ✅ 线性（数乘）
- $T: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$，$T(x) = x + 1$ ❌ 不是线性（$T(0)=1\ne 0$，是仿射映射）
- $T: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$，$T(x) = x^2$ ❌ 不是线性（$T(2x)=4T(x)\ne 2T(x)$）
- 导数 $D: \mathcal{P}_n \to \mathcal{P}_{n-1}$，$D(p) = p'$ ✅ 线性（$(\alpha p+\beta q)'=\alpha p'+\beta q'$）
- 积分 $I: C[0,1] \to \mathbb{R}$，$I(f) = \int_0^1 f$ ✅ 线性
例 2：四种典型几何线性映射 ($\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$)
- 缩放：$T(v) = c\,v$，矩阵 $\begin{pmatrix}c&0\\0&c\end{pmatrix}$
- 旋转（$\theta$ 弧度）：矩阵 $\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$
- 剪切（shear，水平方向）：$\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}$
- 投影到 $x$ 轴：$\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$
2. 线性映射的矩阵表示
这是线性代数最重要的"翻译"：选定基之后，线性映射 ↔ 矩阵。这条对应关系把"抽象的几何变换"变成"可以计算的数表"。
线性映射 ↔ 矩阵
设 $V$ 有基 $\mathcal{B} = \{v_1, \ldots, v_n\}$，$W$ 有基 $\mathcal{C} = \{w_1, \ldots, w_m\}$。任意线性映射 $T: V \to W$ 由它在基向量上的取值唯一决定，记 $T(v_j) = \sum_{i=1}^m a_{ij}\, w_i$，则矩阵
$$[T]_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \in M_{m\times n}(k)$$
是 $T$ 在所选基下的矩阵表示。第 $j$ 列就是 $T(v_j)$ 在基 $\mathcal{C}$ 下的坐标。
反之，给定一个 $m\times n$ 矩阵 $A$，映射 $x \mapsto Ax$ 就是 $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 的一个线性映射。
例 3：写出旋转 $90°$ 的矩阵
取标准基 $e_1 = (1,0)$、$e_2 = (0,1)$，逆时针旋转 $90°$：
$$T(e_1) = (0,1) = 0\cdot e_1 + 1\cdot e_2,\quad T(e_2) = (-1,0) = -1\cdot e_1 + 0\cdot e_2$$
把这两个像写成矩阵的列：
$$[T] = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
例 4：导数算子的矩阵
取 $\mathcal{P}_3$ 的基 $\{1, x, x^2, x^3\}$、$\mathcal{P}_2$ 的基 $\{1, x, x^2\}$。导数 $D(1)=0$、$D(x)=1$、$D(x^2)=2x$、$D(x^3)=3x^2$，因此
$$[D] = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$
原本"很抽象"的求导，现在是一次普通的矩阵-向量乘法。
3. 核（Kernel）与像（Image）
线性映射不一定是一一对应：可能多个输入被压缩到同一个输出（"信息丢失"），也可能输出空间里有些向量永远到不了（"够不到"）。这两件事分别由核和像刻画。
核与像
设 $T: V \to W$ 是线性映射。
- 核（kernel，亦称零空间 null space）： $$\ker(T) = \{ v \in V : T(v) = 0 \} \subseteq V$$ 即被映到零的所有向量。
- 像（image，亦称值域 range）： $$\mathrm{Im}(T) = \{ T(v) : v \in V \} \subseteq W$$ 即 $T$ 实际能"打到"的所有点。
核与像都是子空间
$\ker(T)$ 是 $V$ 的子空间；$\mathrm{Im}(T)$ 是 $W$ 的子空间。证明只需验证零向量在内、对加法与数乘封闭——这些都直接来自 $T$ 的线性性。
直觉上：
- 核越大 ⇒ 信息丢失越多 ⇒ 像越小（这就是下一节的秩-零度定理）；
- $T$ 是单射 ⟺ $\ker(T)=\{0\}$；$T$ 是满射 ⟺ $\mathrm{Im}(T) = W$。
图解 1：核与像
注意核越大（红色阴影区域越大），就有越多的向量被"挤压"到一点，能区分的输出就越少——这正是下面秩-零度定理的几何动机。
4. 秩-零度定理（Rank–Nullity Theorem）
这是线性代数最具几何美感的定理之一：维度可以"做加法"。
秩-零度定理
设 $V$ 是有限维向量空间，$T: V \to W$ 是线性映射。则：
$$\dim V \;=\; \underbrace{\dim \ker(T)}_{\text{零度 nullity}} \;+\; \underbrace{\dim \mathrm{Im}(T)}_{\text{秩 rank}}$$
记 $\mathrm{rank}(T) = \dim \mathrm{Im}(T)$、$\mathrm{nullity}(T) = \dim \ker(T)$，则 $\dim V = \mathrm{rank}(T) + \mathrm{nullity}(T)$。
📐 证明思路（点击展开）
取 $\ker(T)$ 的一组基 $\{u_1, \ldots, u_k\}$，把它扩充为 $V$ 的基 $\{u_1, \ldots, u_k, w_1, \ldots, w_r\}$，其中 $k+r = \dim V$。
断言：$\{T(w_1), \ldots, T(w_r)\}$ 是 $\mathrm{Im}(T)$ 的基。
- 张成：任意 $T(v) = T(\sum a_i u_i + \sum b_j w_j) = \sum b_j T(w_j)$（核中部分被打到零）。
- 线性无关：若 $\sum c_j T(w_j) = 0$，则 $T(\sum c_j w_j)=0$，所以 $\sum c_j w_j \in \ker(T)$，可写成 $u_i$ 的组合；由 $\{u_i, w_j\}$ 线性无关推出 $c_j$ 全为 $0$。
因此 $\dim \mathrm{Im}(T) = r$，加上 $\dim \ker(T) = k$ 即得 $\dim V = k + r$。 $\blacksquare$
图解 2：维度的"分账"
例 5：投影到 $x$ 轴
$T:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$，$T(x,y) = (x,0)$。
- $\ker(T) = \{(0,y) : y\in\mathbb{R}\}$（$y$ 轴），零度 = 1
- $\mathrm{Im}(T) = \{(x,0) : x\in\mathbb{R}\}$（$x$ 轴），秩 = 1
- 验证：$\dim \mathbb{R}^2 = 2 = 1 + 1$ ✓
例 6：导数算子
$D: \mathcal{P}_3 \to \mathcal{P}_3$，$D(p) = p'$。$\dim \mathcal{P}_3 = 4$。
- $\ker(D) =$ 常数多项式，维度 = 1
- $\mathrm{Im}(D) = \mathcal{P}_2$，维度 = 3
- $4 = 1 + 3$ ✓
5. 变换的几何效果
把 $\mathbb{R}^2$ 中所有长度为 1 的向量画出来，得到一个单位圆。线性映射会把这个圆变成一个椭圆（甚至退化成线段）。椭圆的两条半轴长度叫做奇异值（singular values）——它们正是 $T$ 在不同方向上的"拉伸倍率"。
图解 3：变换前后对比
6. 同构（Isomorphism）
同构
线性映射 $T: V \to W$ 称为同构，若 $T$ 既是单射又是满射（即可逆）。此时记 $V \cong W$。
有限维空间的同构定理
设 $V$、$W$ 为有限维向量空间。则 $V \cong W \iff \dim V = \dim W$。
特别地，每个 $n$ 维 $k$-向量空间都同构于 $k^n$——这就是为什么我们可以"放心地用坐标做计算"。
这是一条非常深刻的定理：从向量空间的"骨架"——维度——已经能完全决定它的代数结构。后面学张量、表示论时这个思想会反复出现。
例 7：意外的同构
- $\mathcal{P}_n \cong \mathbb{R}^{n+1}$（多项式 ↔ 系数向量）
- $M_{2\times 2}(\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^4$（矩阵展平）
- $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2$（作为 $\mathbb{R}$-向量空间）
7. 线性映射的复合与逆
复合映射
若 $T: U \to V$、$S: V \to W$ 都是线性映射，则它们的复合 $S\circ T: U \to W$ 也是线性映射。在矩阵层面：
$$[S \circ T] = [S]\,[T]$$
这正是矩阵乘法的几何意义——矩阵乘法被定义成"先做 $T$、再做 $S$"的复合。
逆映射
$T: V \to W$ 是同构当且仅当存在线性映射 $T^{-1}: W \to V$ 使 $T^{-1}\circ T = \mathrm{id}_V$、$T\circ T^{-1} = \mathrm{id}_W$。在矩阵层面就是矩阵 $A$ 可逆 ⟺ $\det A \ne 0$ ⟺ 矩阵的列线性无关。
例 8：旋转的逆是反向旋转
旋转 $\theta$ 的矩阵 $R_\theta$ 的逆是 $R_{-\theta}$。直接计算：
$$R_\theta R_{-\theta} = \begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix} = I$$
8. 练习
练习 1（核与像）
设 $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ 由 $T(x,y,z) = (x+y, y+z)$ 给出。求 $\ker(T)$ 与 $\mathrm{Im}(T)$ 的基与维度，并验证秩-零度定理。
提示
核：解 $x+y=0$、$y+z=0$，得 $\ker(T)=\mathrm{span}\{(1,-1,1)\}$，零度 = 1。
像：$T(\mathbb{R}^3)$ 由 $(1,0)$、$(1,1)$、$(0,1)$ 张成，前两个已线性无关，所以 $\mathrm{Im}(T)=\mathbb{R}^2$，秩 = 2。
$\dim\mathbb{R}^3 = 3 = 1+2$。 ✓
练习 2（矩阵表示）
在 $\mathcal{P}_2$ 上定义 $T(p)(x) = x\,p'(x)$。取基 $\{1,x,x^2\}$，写出 $T$ 的矩阵。
提示
$T(1)=0$、$T(x)=x$、$T(x^2)=2x^2$。所以矩阵是 $\mathrm{diag}(0,1,2)$。注意：这意味着 $0,1,2$ 是 $T$ 的特征值——这正是下一章的预告。
练习 3（同构）
构造一个具体的同构 $\Phi: \mathcal{P}_2 \to \mathbb{R}^3$，并验证它是线性同构。
提示
$\Phi(a_0+a_1 x+a_2 x^2) = (a_0,a_1,a_2)$。线性、单射、满射均直接验证。
练习 4（剪切的几何）
设 $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$。$A$ 的核是什么？$A$ 把单位正方形 $[0,1]^2$ 映成什么图形？面积如何变化？
提示
$\ker(A)=\{0\}$（$\det A = 1\ne 0$）；单位正方形被映成顶点 $(0,0),(1,0),(3,1),(2,1)$ 的平行四边形；面积仍为 1（$|\det A|=1$）——这就是几何上"剪切保持面积"。