把"无穷多个数加起来"——这听起来似乎不可能，可一旦做对了，它会让人惊喜地发现：很多函数其实就是无穷多个简单函数（多项式、指数、三角……）"加起来"得到的。级数（series）就是这种"无穷加法"的语言；幂级数把它升级为"函数与多项式之间的桥"。
"$\sum$" 不是一个加法，而是一个极限——把部分和序列推到无穷远。Taylor 展开告诉我们：在合适的范围内，复杂的函数 = 多项式的极限。
1. 数项级数与收敛
无穷级数
给定数列 $\{a_n\}_{n\ge 1}$，定义部分和 $S_N = a_1 + a_2 + \cdots + a_N = \sum_{n=1}^N a_n$。
若极限 $\lim_{N\to\infty} S_N = S$ 存在（有限），则称级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛到 $S$，记作 $\sum a_n = S$；否则称发散。
例 1：几何级数（最重要）
当 $|r|<1$ 时，
$$\sum_{n=0}^\infty r^n = 1 + r + r^2 + r^3 + \cdots = \frac{1}{1-r}$$
因为 $S_N = \dfrac{1-r^{N+1}}{1-r} \to \dfrac{1}{1-r}$。当 $|r|\ge 1$ 时发散。
例 2：调和级数 vs $p$-级数
$\sum \frac{1}{n}$ 发散（增长像 $\ln N$），但 $\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ 收敛。一般地，$p$-级数 $\sum \frac{1}{n^p}$ 当且仅当 $p>1$ 时收敛。
必要条件
若 $\sum a_n$ 收敛，则 $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$。逆不真：调和级数的项趋于 0 但发散。
2. 收敛判别法
三大常用判别法（设 $a_n\ge 0$）
- 比较判别法：若 $0\le a_n\le b_n$ 且 $\sum b_n$ 收敛，则 $\sum a_n$ 收敛。
- 比值判别法（d'Alembert）：设 $\rho = \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$。$\rho<1$ ⟹ 收敛；$\rho>1$ ⟹ 发散；$\rho=1$ ⟹ 失效。
- 根值判别法（Cauchy）：设 $\rho = \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}$。$\rho<1$ ⟹ 收敛；$\rho>1$ ⟹ 发散；$\rho=1$ ⟹ 失效。
例 3：用比值法
$\sum \dfrac{n!}{n^n}$：$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\dfrac{n^n}{n!} = \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n \to \dfrac{1}{e} < 1$。收敛。
$\sum \dfrac{2^n}{n!}$：$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{2}{n+1} \to 0 < 1$。收敛——其极限正是 $e^2$。
绝对收敛 vs 条件收敛
若 $\sum |a_n|$ 收敛，称 $\sum a_n$ 绝对收敛；若 $\sum a_n$ 收敛但 $\sum |a_n|$ 发散，称条件收敛（如 $\sum \frac{(-1)^n}{n} = -\ln 2$）。绝对收敛级数可以任意重排不改变和；条件收敛级数不能（Riemann 重排定理）。
图解 1：几何级数 $\sum r^n = \dfrac{1}{1-r}$ 的面积可视化
3. 幂级数与收敛半径
幂级数
形如
$$\sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots$$
的级数叫做以 $a$ 为展开中心的幂级数。系数 $c_n$ 给定，变量 $x$ 在哪个范围内取值时收敛，是核心问题。
收敛半径（Cauchy–Hadamard）
对幂级数 $\sum c_n (x-a)^n$，存在唯一的 $R\in [0,+\infty]$（称为收敛半径）使得：
- 当 $|x-a| \lt R$ 时，级数绝对收敛；
- 当 $|x-a| > R$ 时，级数发散；
- 边界 $|x-a| = R$ 时需单独判别，可能收敛、可能发散。
$R$ 由公式 $\dfrac{1}{R} = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|}$ 给出（约定 $1/0 = +\infty$，$1/\infty = 0$）。也常用比值法 $R = \lim |c_n / c_{n+1}|$（若存在）。
图解 2：收敛半径——一段绿色、两端模糊、外面红
例 4：求收敛半径
- $\sum \dfrac{x^n}{n!}$：$\dfrac{|c_n|}{|c_{n+1}|} = n+1\to\infty$，$R=\infty$（处处收敛——这就是 $e^x$）。
- $\sum n!\, x^n$：$\dfrac{|c_n|}{|c_{n+1}|}=\dfrac{1}{n+1}\to 0$，$R=0$（仅在 $x=0$ 收敛——病态）。
- $\sum \dfrac{x^n}{n}$：$R = 1$。在 $x=1$ 发散（调和级数），在 $x=-1$ 收敛（交错调和级数）——边界两端命运不同！
4. Taylor 展开：函数 = 多项式的极限
Taylor 级数
若 $f$ 在 $x=a$ 处可任意阶求导，则 $f$ 在 $a$ 处的 Taylor 级数为
$$f(x) \;\;\overset{?}{=}\;\; \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$
第 $N$ 阶部分和 $T_N(x) = \sum_{n=0}^N \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ 称为$N$ 阶 Taylor 多项式。等号是否成立要看 余项 $R_N(x) = f(x)-T_N(x)$ 是否趋于 0。
当 $a=0$ 时也叫 Maclaurin 级数。一个能在某区间被自己的 Taylor 级数表示的函数叫解析函数（real-analytic）。
常用 Maclaurin 展开（必背）
$$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,\quad R=\infty$$
$$\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots,\quad R=\infty$$
$$\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots,\quad R=\infty$$
$$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n,\quad R=1$$
$$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots,\quad R=1$$
图解 3：Taylor 多项式逐阶逼近 $\sin x$
例 5：用 Taylor 展开计算近似
$e^{0.1} \approx 1 + 0.1 + \tfrac{0.01}{2} + \tfrac{0.001}{6} \approx 1.10517$，与精确值 $1.10517091\ldots$ 仅差 $4\times 10^{-6}$。计算器内部就是这样工作的（结合区间约简和 minimax 多项式）。
例 6：欧拉公式的"一行证明"
把 $ix$ 代入 $e^x$ 的 Taylor 级数，按实部、虚部重组：
$$e^{ix} = \sum \frac{(ix)^n}{n!} = \underbrace{\left(1 - \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^4}{4!}-\cdots\right)}_{\cos x} + i\underbrace{\left(x - \tfrac{x^3}{3!} + \tfrac{x^5}{5!}-\cdots\right)}_{\sin x}$$
所以 $e^{ix} = \cos x + i\sin x$。从级数角度看，欧拉公式是三个 Taylor 级数的同一身份。
5. 形式幂级数（预告）
形式幂级数环 $k[[x]]$
把 $\sum c_n x^n$ 不看作"求和"，而看作"系数序列"——只要规定加法和乘法（柯西卷积）即可：
$$\left(\sum a_n x^n\right)\left(\sum b_n x^n\right) = \sum_n\!\left(\sum_{i+j=n} a_i b_j\right) x^n$$
这样得到的代数结构 $k[[x]]$ 称为形式幂级数环——元素就是无穷长的"多项式"。它是完备局部环，最大理想 $(x)$，剩余域 $k$。不需要任何收敛性！
形式幂级数是组合数学的"生成函数"工具，也是代数几何里描述形式邻域（infinitesimal neighborhood）的代数对象。它把"分析里的 Taylor 级数"剥离了收敛性，留下了纯代数的骨架。
例 7：$\dfrac{1}{1-x}$ 在 $k[[x]]$ 里的逆元
在 $k[[x]]$ 中，$1-x$ 是可逆的：$(1-x)\cdot(1+x+x^2+\cdots) = 1$。这是纯代数恒等式——不依赖收敛性，对 $k$ 是任何域成立！
6. 现实世界：WiFi 信号与几何级数
穿墙衰减
设 WiFi 路由器发出信号能量为 $1$，每穿过一面墙能量衰减为原来的 $r$ 倍（$0\lt r<1$，比如 $r=0.5$）。在你家走廊里，墙后是反射、折射、再反射……总接收能量是无穷次反射的几何级数：
$$E_\text{total} = 1 + r + r^2 + \cdots = \frac{1}{1-r} = 2$$
同样的级数模型解释：放射性衰变的累积、贷款利息现值、Fibonacci 兔子数列的近似指数增长、PageRank 算法（Google 搜索的根基！）的随机游走稳态分布。几何级数是工程世界的基本语言。
7. 练习
练习 1（收敛性判断）
判断 $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{n^2}{2^n}$ 与 $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{\sqrt n}$ 的收敛性。
提示
第一个用比值法：$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{(n+1)^2}{n^2}\cdot\dfrac{1}{2}\to \tfrac 1 2 < 1$，绝对收敛。
第二个用 Leibniz 交错级数判别法：$\tfrac{1}{\sqrt n}$ 单减趋于 0，所以条件收敛；但 $\sum\tfrac{1}{\sqrt n}$ 是 $p=1/2$ 级数发散，故不绝对收敛。
练习 2（求和）
求 $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{n}{2^n}$。
提示
从 $\sum_{n=0}^\infty x^n = \dfrac{1}{1-x}$ 求导：$\sum_{n=1}^\infty n x^{n-1} = \dfrac{1}{(1-x)^2}$。乘以 $x$ 得 $\sum n x^n = \dfrac{x}{(1-x)^2}$。代 $x=1/2$：$= \dfrac{1/2}{1/4} = 2$。
练习 3（收敛半径）
求幂级数 $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{(2n)!}{(n!)^2}\, x^n$ 的收敛半径。
提示
$\dfrac{c_{n+1}}{c_n} = \dfrac{(2n+2)!\,(n!)^2}{(2n)!\,((n+1)!)^2} = \dfrac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2} = \dfrac{2(2n+1)}{n+1} \to 4$。所以 $1/R = 4$，$R = 1/4$。（这是 $\dfrac{1}{\sqrt{1-4x}}$ 的展开，收敛半径正是 $1/4$。）
练习 4（Taylor 展开）
求 $f(x) = \arctan x$ 在 $0$ 处的 Taylor 级数及收敛半径。
提示
$f'(x) = \dfrac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n}$（$|x|<1$）。逐项积分：$\arctan x = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}$。$R=1$。代 $x=1$：$\dfrac{\pi}{4} = 1 - \tfrac 1 3 + \tfrac 1 5 - \cdots$（Leibniz 公式）。
练习 5（用 Taylor 算极限）
用 Taylor 展开计算 $\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x - 1 - x}{x^2}$。
提示
$e^x = 1 + x + \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{6}+\cdots$，所以 $e^x - 1 - x = \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{6}+\cdots$，除以 $x^2$ 得 $\tfrac 1 2 + \tfrac{x}{6} + \cdots$，极限 $= \tfrac 1 2$。