簇是"对象"，但范畴学告诉我们：对象之间的箭头，比对象本身更重要。这一章我们定义仿射簇之间的态射（morphism）——它们是用多项式分量描述的"几何映射"，并且与坐标环之间的 $k$-代数同态一一对应（方向反过来）。这就是 Hilbert 零点定理的"动态版本"。
簇的态射 = 几何上的"多项式映射"；环同态 = 代数上的"代回带入"。它们是同一件事的两种说法。
1. 正则映射（Regular Map / Morphism）
正则映射
设 $X \subseteq \mathbb{A}^n_k$、$Y \subseteq \mathbb{A}^m_k$ 是仿射代数集。映射 $\varphi: X \to Y$ 称为正则映射（regular map / morphism），若存在多项式 $f_1,\ldots,f_m \in k[x_1,\ldots,x_n]$ 使得 $$ \varphi(p) = (f_1(p),\ldots,f_m(p)),\quad \forall p \in X, $$ 且像点确实落在 $Y$ 中（即 $\forall p\in X,\ (f_1(p),\ldots,f_m(p))\in Y$）。
每个 $f_i$ 都是 $k[X]$ 中的元素（正则函数），所以正则映射 $X \to Y$ 由 $m$ 个正则函数 $f_1,\ldots,f_m \in k[X]$ 给定，受 $Y$ 的方程约束。
例 1：参数化抛物线
$\varphi: \mathbb{A}^1 \to \mathbb{A}^2,\ t \mapsto (t, t^2)$。像落在 $V(y - x^2)$ 中（验证：$t^2 - t^2 = 0$）。这是抛物线的多项式参数化，且它是 $\mathbb{A}^1 \to V(y-x^2)$ 的同构。
例 2：参数化尖点曲线（关键例子！）
$\varphi: \mathbb{A}^1 \to V(y^2-x^3),\ t \mapsto (t^2, t^3)$。像确实落在 $V(y^2-x^3)$ 中（验证：$(t^3)^2 = t^6 = (t^2)^3$）。
$\varphi$ 是双射但不是同构！下面我们会看到这一惊人事实——它的逆 $t \mapsto y/x$（在 $x\neq 0$ 时）不是多项式。
图解 1：$t \mapsto (t^2, t^3)$ — 直线如何"绕"成尖点曲线
2. 态射 ↔ 环同态：交换图
反变等价
设 $X \subseteq \mathbb{A}^n,\ Y\subseteq \mathbb{A}^m$ 仿射代数集。则有自然双射： $$ \boxed{\;\{\text{正则映射 }\varphi: X \to Y\} \;\longleftrightarrow\; \{k\text{-代数同态 }\varphi^*: k[Y] \to k[X]\}\;} $$
具体地，$\varphi^*$ 由"把函数沿 $\varphi$ 拉回"给出： $$\varphi^*(g) = g \circ \varphi,\qquad g\in k[Y].$$
这条对应是范畴等价的箭头层面：
- $\mathrm{id}_X \leftrightarrow \mathrm{id}_{k[X]}$；
- 复合反向：$(\psi \circ \varphi)^* = \varphi^* \circ \psi^*$；
- 同构 ↔ 同构：$\varphi$ 是仿射簇同构 ⟺ $\varphi^*$ 是 $k$-代数同构。
图解 2：交换图 — 几何箭头与代数箭头方向相反
3. 同构、闭嵌入、稠密像
仿射簇的同构
态射 $\varphi: X \to Y$ 是同构，若存在态射 $\psi: Y \to X$ 使 $\psi \circ \varphi = \mathrm{id}_X$, $\varphi \circ \psi = \mathrm{id}_Y$。 等价地：$\varphi^*: k[Y] \to k[X]$ 是 $k$-代数同构。
强调一遍前面的反例：$\varphi: \mathbb{A}^1 \to V(y^2-x^3),\ t\mapsto(t^2,t^3)$ 是双射，但不是同构： $$\varphi^*: k[x,y]/(y^2-x^3)\to k[t],\quad \bar{x}\mapsto t^2,\ \bar{y}\mapsto t^3.$$ $\varphi^*$ 的像是 $k[t^2,t^3] = \{a_0 + a_2t^2+a_3t^3+\cdots\}$，缺一项 $t$，不是满射。所以态射对应于一个非同构的环嵌入。
双向字典：同态类型 ↔ 态射类型
- 满同态$k[Y] \twoheadrightarrow k[X]$ ⟺ 闭嵌入 $X \hookrightarrow Y$（把 $X$ 视为 $Y$ 的闭子簇）；
- 单同态$k[Y] \hookrightarrow k[X]$ ⟺ 支配映射（dominant，即像 Zariski 稠密）；
- 同构 ⟺ 同构。
4. 有理映射（Rational Map）
有些映射不能在整个 $X$ 上写成多项式，但在某个稠密开子集上可以——这就是有理映射。它把"代数几何"提升到一个更宽容的视角。
有理映射
设 $X, Y$ 是不可约仿射簇。一个有理映射 $\varphi: X \dashrightarrow Y$ 是 $X$ 中某个非空开子集 $U \subseteq X$ 上的正则映射 $\varphi: U \to Y$，等价类下（两个有理映射在更小的开集上重合视为相同）。
$\varphi$ 的定义域是所有它能延拓到的最大开集；它在补集上"未定义"（singular locus 或 indeterminacy locus）。
例：投影从一点出发
从单位圆 $X = V(x^2+y^2-1) \subset \mathbb{A}^2$ 到 $\mathbb{A}^1$ 的"立体投影" $$ \varphi: X \dashrightarrow \mathbb{A}^1,\qquad (x,y)\mapsto \frac{x}{1-y}. $$ 它在 $y\neq 1$ 处正则，在 $(0,1)$ 处未定义（分母为零）。这是个有理映射，不是态射；但它是从"穿孔的圆"到 $\mathbb{A}^1$ 的同构（双有理）。
图解 3：正则映射 vs 有理映射 — 全局 vs 几乎处处
5. 双有理等价（Birational Equivalence）
双有理映射
$\varphi: X \dashrightarrow Y$ 是双有理（birational），若存在 $\psi: Y \dashrightarrow X$ 使得 $\psi \circ \varphi = \mathrm{id}_X$，$\varphi \circ \psi = \mathrm{id}_Y$（在两侧的稠密开子集上）。两个簇双有理等价 ⟺ 它们的函数域 $K(X), K(Y)$ 作为 $k$-扩张同构。
双有理等价是代数几何的"大尺度等价"——比同构粗，但在分类问题里极其有用。函数域 $K(X)$ 是 $k[X]$ 的分式域（$X$ 不可约时）。例如：
- 抛物线、直线、圆（$\mathbb{C}$ 上）都双有理等价于 $\mathbb{A}^1$（函数域均同构于 $k(t)$）；
- 椭圆曲线 $V(y^2 - x^3 + x)$ 不双有理于 $\mathbb{A}^1$（函数域不同构）。
6. 经典例：单位圆的有理参数化
圆的有理参数化（毕达哥拉斯三元数组的源头！）
从 $(0,1)$ 投影：每条过 $(0,1)$ 斜率 $-t$ 的直线 $y = 1 - tx$ 与单位圆交于另一点 $$ \left(\frac{2t}{1+t^2},\ \frac{1-t^2}{1+t^2}\right). $$ 这是 $\mathbb{A}^1 \dashrightarrow V(x^2+y^2-1)$ 的双有理映射。历史意义：取 $t \in \mathbb{Q}$ 即得所有有理点，由此2000 年前的毕达哥拉斯三元数组公式就是这个有理参数化的本质。
7. 生活实例：地图投影与坐标变换
想象两个城市的地图：
- 正则映射 = "完美的地图变换"，每条街道都能精确换算坐标；
- 有理映射 = "几乎完美的地图"，但有少数"挤压点"（如墨卡托投影在两极崩溃）；
- 同构 = 两张地图等价（互为可逆）；
- 双有理等价 = 两张地图大体上互为可逆，只在边角不一致；
- "$\varphi^* = $ 把 $Y$ 上的函数沿 $\varphi$ 拉回到 $X$" = "把 $Y$ 城市的导航 App 装到 $X$ 城市的手机上"。
8. 练习
练习 1（写出环同态）
设 $\varphi: \mathbb{A}^2 \to \mathbb{A}^3,\ (s,t)\mapsto (s, t, s+t)$。写出 $\varphi^*: k[x,y,z] \to k[s,t]$。它是单同态吗？$\varphi$ 是闭嵌入吗？$\varphi$ 的像是哪个簇？
答案
$\varphi^*: x\mapsto s,\ y\mapsto t,\ z\mapsto s+t$。$\varphi^*$ 不是单同态（$z - x - y \mapsto 0$），所以 $\varphi$ 不是支配的。$\varphi$ 是闭嵌入，像 $= V(z-x-y)$。$\varphi^*$ 的核 $= (z-x-y)$，所以 $k[\mathrm{im}\varphi] = k[x,y,z]/(z-x-y) \cong k[s,t]$ ✓。
练习 2（参数化检验）
$\varphi: \mathbb{A}^1 \to V(y^2-x^2(x+1)),\ t\mapsto(t^2-1, t(t^2-1))$ 是参数化结点曲线。验证像确实落在该簇上。它是否一一对应？（提示：检查 $t = \pm 1$ 都映到 $(0,0)$ — 这就是结点的本质）
练习 3（双有理 vs 同构）
证明：抛物线 $V(y-x^2)$ 与 $\mathbb{A}^1$ 同构（不仅是双有理等价）。但椭圆曲线 $V(y^2-x^3+x)$ 与 $\mathbb{A}^1$ 既不同构也不双有理。
练习 4（复合反向）
给定态射 $\varphi: X \to Y$ 与 $\psi: Y\to Z$，验证 $(\psi\circ\varphi)^* = \varphi^* \circ \psi^*$ 由"拉回 = 函数复合"直接推出。
练习 5（深度学习联想）
一个神经网络层 $\sigma(Wx + b)$ 在 $\sigma$ 是多项式的情况下，是参数空间到表示空间的正则映射。在 $\sigma = $ ReLU 时，它是分段线性的（半代数），可视作"分片定义的有理映射"。讨论：网络的"等价类"概念（permutation equivalence、scaling equivalence）是否就是参数空间上的双有理等价？