从这一章开始，我们正式踏入射影代数几何（projective algebraic geometry）。仿射空间 $\mathbb{A}^n$ 虽然直观，但有两个"病灶"：平行线永不相交，以及有些曲线缺失了关键的"无穷远点"。射影空间 $\mathbb{P}^n$ 是仿射空间的一种"完美补全"，它把无穷远变成了"普通的点"。这是 Bezout 定理、椭圆曲线、概形粘合等无数核心结果的舞台。
"Affine geometry is for accountants; projective geometry is for poets." —— 仿射几何把世界切成片，射影几何让所有的片在天边汇合。
1. 为什么需要射影空间？
在仿射平面 $\mathbb{A}^2$ 中，两条平行直线永不相交，这令人困扰：
- "两条直线交于一点"这一干净的几何陈述，只能在加上"或平行"的丑陋例外后才成立。
- 双曲线 $xy = 1$ 有两支，它们"应该"在无穷远处闭合成一个整体——但仿射坐标看不到。
- 抛物线 $y = x^2$ 与 $x$-轴只交一点 $(0,0)$，但代数上感觉应该有 $1 \times 2 = 2$ 个交点。第二个交点跑哪儿去了？答案：无穷远处！
生活中的例子：站在铁轨之间向远方眺望，两条平行钢轨在地平线上"交"于一个点。这个点不是真实的几何点（钢轨从不真正相交），而是视觉上的无穷远点（point at infinity）。文艺复兴画家们用透视法（perspective）画出来的一切，本质上都是在做射影几何。
抛物线"丢失"的交点
考虑 $y = x^2$ 与 $y = 0$（$x$-轴）。代数上 $x^2 = 0$ 在
$\mathbb{C}[x]$ 中是次数 2 的方程，应该有 2
个根（计重数）；几何上仿射只看到一个交点 $(0,0)$，但这个交点重数为
2。
再看 $y = x^2 + 1$ 与 $y = 0$：实数中无解，复数中两个解 $x = \pm
i$。
再看 $y = x^2$ 与 $x = 0$：仿射只交
$(0,0)$，第二个交点"在无穷远处"——只有进入 $\mathbb{P}^2$ 才能看到。
2. 射影空间的定义
射影空间 $\mathbb{P}^n_k$（Projective Space）
在 $\mathbb{A}^{n+1}_k \setminus \{0\}$ 上定义等价关系： $$ (x_0, x_1, \ldots, x_n) \sim (\lambda x_0, \lambda x_1, \ldots, \lambda x_n), \qquad \lambda \in k^\times. $$ $n$ 维射影空间 $\mathbb{P}^n_k$ 定义为商集 $$ \mathbb{P}^n_k \;=\; \bigl(\mathbb{A}^{n+1}_k \setminus \{0\}\bigr) \big/ \sim. $$ 一个点的等价类记为 $[x_0 : x_1 : \cdots : x_n]$，称为齐次坐标（homogeneous coordinates）。
换句话说：$\mathbb{P}^n$ 的"点"就是 $\mathbb{A}^{n+1}$ 中过原点的一条直线。直线上除了原点之外的任意一点都代表同一个射影点；缩放因子 $\lambda$ 不改变所代表的射影点。
齐次坐标的两条铁律
- $[x_0 : \cdots : x_n] = [\lambda x_0 : \cdots : \lambda x_n]$ 对任意 $\lambda \neq 0$ 成立。
- $[0 : 0 : \cdots : 0]$ 不是射影空间的合法点（原点被去掉了）。
图解 1：射影空间 = 过原点直线的集合
3. $\mathbb{P}^1$：数轴 + 一个无穷远点
最简单的射影空间是 $\mathbb{P}^1$。在齐次坐标 $[x_0 : x_1]$ 下：
- 当 $x_0 \neq 0$，可以归一化为 $[1 : t]$，其中 $t = x_1 / x_0 \in k$。这部分是 $\mathbb{A}^1$。
- 当 $x_0 = 0$，则 $x_1 \neq 0$（不能两个都为零），可归一化为 $[0 : 1]$。这是唯一的无穷远点，记为 $\infty$。
所以 $\mathbb{P}^1 = \mathbb{A}^1 \cup \{\infty\}$。在 $k = \mathbb{C}$ 时，$\mathbb{C} \cup \{\infty\}$ 通过球极投影（stereographic projection）拓扑同胚于球面 $S^2$，这就是著名的 Riemann 球面（Riemann sphere）。它是复分析中最自然的舞台。
图解 2：$\mathbb{P}^1 = \mathbb{A}^1 \cup \{\infty\}$ 卷成圆 / Riemann 球
4. 齐次坐标的"代数生活"
同一个点的多种"打扮"
在 $\mathbb{P}^2$ 中： $$ [2 : 4 : 6] \;=\; [1 : 2 : 3] \;=\; [-1 : -2
: -3] \;=\; [0.5 : 1 : 1.5]. $$ 全部由 $\lambda = 2, 1, -1, 0.5$
等比例缩放得到，是同一个点。
但 $[0 : 0 : 0]$ 不是合法点——禁止全零。
函数在射影空间上的麻烦：在仿射空间，$f(x,y) = x + y$ 是一个良定义的函数。但在 $\mathbb{P}^2$ 中，$f([1:2:3]) = 1 + 2 + 3 = 6$ 而 $f([2:4:6]) = 2+4+6 = 12$——同一个点上有两个值！这意味着普通多项式不是射影空间上的函数。下一章我们会看到，齐次多项式恰好解决了这个问题（虽然它仍不是真正的"函数"，但它的零点集是良定义的）。
5. 仿射覆盖：$\mathbb{P}^n$ 是 $n+1$ 个 $\mathbb{A}^n$ 的"拼接"
标准仿射覆盖
对每个 $i = 0, 1, \ldots, n$，定义 $$ U_i \;=\; \bigl\{[x_0 : \cdots : x_n] \in \mathbb{P}^n \;\big|\; x_i \neq 0\bigr\}. $$ 通过映射 $$ U_i \;\xrightarrow{\;\sim\;}\; \mathbb{A}^n,\qquad [x_0 : \cdots : x_n] \;\longmapsto\; \Bigl(\tfrac{x_0}{x_i}, \ldots, \widehat{\tfrac{x_i}{x_i}}, \ldots, \tfrac{x_n}{x_i}\Bigr) $$ 每个 $U_i$ 与仿射空间 $\mathbb{A}^n$ 一一对应（$\widehat{\,\cdot\,}$ 表示去掉这一项）。并且 $$ \mathbb{P}^n \;=\; U_0 \cup U_1 \cup \cdots \cup U_n. $$
所以 $\mathbb{P}^n$ 不是天降神物，而是 $n+1$ 张仿射地图的有规则粘合。这正是后面"概形"的预演——任何概形局部都是 $\mathrm{Spec}(R)$，整体由这些"局部仿射"粘合而成。
$\mathbb{P}^1$ 的仿射覆盖
$U_0 = \{[1 : t]\} \cong \mathbb{A}^1_t$（用 $t = x_1/x_0$）
$U_1 = \{[s : 1]\} \cong \mathbb{A}^1_s$（用 $s = x_0/x_1$）
重叠区 $U_0 \cap U_1 = \{[x_0:x_1] : x_0, x_1 \neq 0\}$，过渡函数 $s =
1/t$。
这恰好是 Riemann 球的两张地图：南半球 + 北半球，重叠在赤道附近。
图解 3：$\mathbb{P}^2$ 被三个仿射片覆盖（概形粘合的经典例子）
6. 无穷远超平面：$\mathbb{P}^n = \mathbb{A}^n \sqcup \mathbb{P}^{n-1}$
固定一个仿射片 $U_0 = \{x_0 \neq 0\} \cong \mathbb{A}^n$。它的补集是 $$ \mathbb{P}^n \setminus U_0 \;=\; \{[0 : x_1 : \cdots : x_n]\} \;\cong\; \mathbb{P}^{n-1}. $$
所以 $\mathbb{P}^n$ 是仿射空间 $\mathbb{A}^n$ 加上一个低一维的射影空间 $\mathbb{P}^{n-1}$（"无穷远超平面"）。比如：
- $\mathbb{P}^1 = \mathbb{A}^1 \sqcup \mathbb{P}^0 = \mathbb{A}^1 \cup \{\infty\}$
- $\mathbb{P}^2 = \mathbb{A}^2 \sqcup \mathbb{P}^1$ ——平面加一条无穷远直线（line at infinity）
- $\mathbb{P}^3 = \mathbb{A}^3 \sqcup \mathbb{P}^2$ ——三维空间加一个无穷远平面
平行线在无穷远处相交
仿射平面 $\mathbb{A}^2 \subset \mathbb{P}^2$ 中两条直线 $y = x$ 与 $y
= x + 1$ 平行。齐次化后写成 $x_2 = x_1$ 与 $x_2 = x_1 + x_0$（设
$\mathbb{A}^2$ 嵌入为 $x_0 = 1$）。
求两条射影直线的交点：从 $x_2 = x_1$ 与 $x_2 = x_1 + x_0$ 得 $x_0 =
0$。
再代入得 $x_2 = x_1$，即 $[0 : 1 : 1]$。
这个点不在 $U_0$ 中（$x_0 =
0$），它躺在无穷远直线上——平行线在那里相交！
7. 生活实例：透视画与铁轨
在单点透视的画作里：
- 所有水平方向相同的平行线（地砖、铁轨、马路）汇集到一个消失点（vanishing point）。
- 消失点 = 该方向对应的无穷远点。
- 整张画布是 $\mathbb{P}^2$ 的一张仿射地图，地平线就是无穷远直线。
文艺复兴的画家们（Brunelleschi, Alberti, da Vinci）实际上发明了射影几何的图形原型。Desargues 在 17 世纪把它代数化，Plücker、Cayley、Klein 等人在 19 世纪把它系统化——这就是我们今天定义 $\mathbb{P}^n$ 的现代背景。
8. 练习
练习 1（齐次坐标识别）
以下哪些表示 $\mathbb{P}^2$ 中的同一个点？ (a) $[1 : 2 : 3]$; (b) $[2 : 4 : 6]$; (c) $[-3 : -6 : -9]$; (d) $[1 : 2 : 4]$; (e) $[0 : 0 : 0]$。
提示
(a)(b)(c) 同一个点（$\lambda = 1, 2, -3$）；(d) 是另一个点；(e) 不是合法点。
练习 2（仿射片转换）
点 $[2 : 3 : 5] \in \mathbb{P}^2$。写出它在三张仿射地图 $U_0$, $U_1$, $U_2$ 中的仿射坐标。
答案
$U_0$: $(3/2, 5/2)$；$U_1$: $(2/3, 5/3)$；$U_2$: $(2/5, 3/5)$。
练习 3（平行线的无穷远交点）
求 $\mathbb{A}^2$ 中三条平行线 $y = 2x$, $y = 2x + 1$, $y = 2x - 5$ 在 $\mathbb{P}^2$ 中的共同无穷远交点。
练习 4（$\mathbb{P}^1$ 的拓扑）
论证 $\mathbb{P}^1_\mathbb{R}$ 拓扑同胚于圆 $S^1$，但 $\mathbb{P}^1_\mathbb{C}$ 同胚于球 $S^2$。这两个事实为何兼容？
练习 5（仿射覆盖的过渡函数）
在 $\mathbb{P}^2$ 中写出 $U_1$ 与 $U_2$ 的重叠区上，从 $U_1$ 坐标 $(u', v')$ 到 $U_2$ 坐标 $(u'', v'')$ 的过渡函数。