层给出的是"开集级别"的数据。但代数几何中我们常需要点级别的信息——比如一个函数在某点 $x$ 的"芽"（germ）。茎（stalk）$\mathcal{F}_x$ 把所有包含 $x$ 的开集上的截面"压缩"到一个代数对象中，记录了 $x$ 的无穷小邻域上的全部信息。
"茎 = 在一个点看到的所有局部信息的'极限浓缩'。"
1. 茎（Stalk）的定义
茎作为滤过余极限
设 $\mathcal{F}$ 是拓扑空间 $X$ 上的层，$x \in X$。$\mathcal{F}$ 在 $x$ 处的茎定义为： $$ \mathcal{F}_x \;:=\; \varinjlim_{U \ni x} \mathcal{F}(U), $$ 其中余极限取遍所有包含 $x$ 的开集 $U$，按包含关系 $V \subseteq U$ 构成滤过（filtered）系。
具体地：$\mathcal{F}_x$ 的元素称为 $x$ 处的芽（germ），记为 $(U, s)$ 的等价类 $[U, s]_x$（或简写 $s_x$），其中两个芽 $(U, s) \sim (V, t)$ 当且仅当存在更小的开集 $W \subseteq U \cap V$（$x \in W$）使得 $s|_W = t|_W$。
生活比喻：设你站在城市中心 $x$，有很多不同半径的"观测圆"围绕你。每个圆内你有一份温度分布数据。茎 $\mathcal{F}_x$ 就是所有这些数据的"等价类极限"——两份数据等价只要它们在 $x$ 附近足够小的范围内完全一致。你关心的只是"$x$ 附近"的行为，不管那个"附近"有多大。
图解 1：茎——递缩开集链 → 等价类
2. 截面的"局部到整体"
给定层 $\mathcal{F}$ 和开集 $U$，截面 $s \in \mathcal{F}(U)$ 在每个点 $x \in U$ 有一个芽 $s_x \in \mathcal{F}_x$。关键性质：
截面由茎上的值决定
层的截面 $s \in \mathcal{F}(U)$ 由其在每个点的芽 $\{s_x\}_{x \in U}$ 唯一决定。即：若 $s_x = t_x$（$\forall x \in U$），则 $s = t$。
这正是层条件（locality）的点级别翻译。
图解 2：截面与限制映射
3. 茎的几何意义
在代数几何中，结构层 $\mathcal{O}_X$ 的茎 $\mathcal{O}_{X,x}$ 就是 $X$ 在 $x$ 处的局部环——它记录了"$x$ 附近正则函数的全部代数行为"。极大理想 $\mathfrak{m}_x$ 对应"在 $x$ 处取值为 0"的函数，剩余域 $\kappa(x) = \mathcal{O}_{X,x}/\mathfrak{m}_x$ 是 $x$ 的"坐标域"。
环化空间与局部环化空间
一个环化空间（ringed space）$(X, \mathcal{O}_X)$ 是拓扑空间 $X$ 配一个环层 $\mathcal{O}_X$。如果每个茎 $\mathcal{O}_{X,x}$ 都是局部环（有唯一极大理想），就称之为局部环化空间（locally ringed space）。概形正是一类特殊的局部环化空间。
4. 层态射由茎上的态射决定
层态射的茎判据
层态射 $\varphi: \mathcal{F} \to \mathcal{G}$ 诱导每个茎上的映射 $\varphi_x: \mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x$。反之：
- $\varphi$ 是单射 ⟺ 每个 $\varphi_x$ 是单射。
- $\varphi$ 是满射 ⟺ 每个 $\varphi_x$ 是满射。
- $\varphi$ 是同构 ⟺ 每个 $\varphi_x$ 是同构。
这就是"层的性质可在茎上逐点检验"的核心定理。
图解 3：层态射与茎上的态射
例：$\exp: \mathcal{O}_{\mathbb{C}} \to \mathcal{O}_{\mathbb{C}}^*$
指数映射 $f \mapsto e^f$ 给出全纯函数层到非零全纯函数层的层态射。在每个茎上，这是局部环间的同态。虽然茎上指数映射是满射（每个非零全纯函数局部有对数），但全局截面上可能不满射（如 $\mathbb{C}^*$ 上的 $z$ 没有全局对数）。这个"局部满射 vs 全局不满射"的现象正是层上同调存在的原因预告！
5. 练习
练习 1：计算茎
设 $X = \mathbb{R}$，$\mathcal{F} = \mathcal{C}_X$（连续函数层）。计算 $\mathcal{F}_0$（0 处的茎）。描述其中的等价关系。
提示
$\mathcal{C}_{X,0}$ = 所有在 0 附近定义的连续函数的芽。$(U, f) \sim (V, g)$ ⟺ 存在 $W \ni 0$，$W \subseteq U \cap V$ 使得 $f|_W = g|_W$。这就是"0 处的连续函数芽环"。
练习 2：茎与局部化
设 $X = \mathrm{Spec}(R)$（仿射概形），$\mathcal{O}_X$ 为结构层。证明对素理想 $\mathfrak{p} \in X$，有 $\mathcal{O}_{X,\mathfrak{p}} \cong R_\mathfrak{p}$（$R$ 关于 $\mathfrak{p}$ 的局部化）。
练习 3：茎上满射 vs 截面上不满射
给出一个层态射 $\varphi: \mathcal{F} \to \mathcal{G}$ 的例子，使得 $\varphi_x$ 对所有 $x$ 满射，但 $\varphi(X): \mathcal{F}(X) \to \mathcal{G}(X)$ 不满射。这说明了什么？
提示
经典例子：$X = \mathbb{C}^*$，$\exp: \mathcal{O} \to \mathcal{O}^*$。全局截面上 $z \in \mathcal{O}^*(\mathbb{C}^*)$ 没有全局对数。这揭示了 $H^1(X, \mathbb{Z}) \neq 0$ 的上同调障碍。