线性方程组 — 从高中数学到代数几何

1. 线性方程组的矩阵形式

从初中开始，我们就在解"二元一次方程组"。线性代数的第一步，是把这种古老的问题统一成一种紧凑的矩阵形式：方程组 ↔ 矩阵方程 $A\vec{x} = \vec{b}$。这一改写让我们能用统一的工具（高斯消元、秩、向量空间）来处理任意维数的情况。

线性方程组（Linear System） $m$ 个方程、$n$ 个未知量的线性方程组： $$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \quad\vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$$ 等价于矩阵方程 $\;A\vec{x} = \vec{b}\;$，其中： $$A = (a_{ij})_{m\times n}, \qquad \vec{x} = (x_1, \ldots, x_n)^T, \qquad \vec{b} = (b_1, \ldots, b_m)^T.$$ 增广矩阵（augmented matrix）：$\big(A \mid \vec{b}\big) \in \mathbb{R}^{m \times (n+1)}$，把 $\vec{b}$ 拼到 $A$ 右侧，是消元运算的实际对象。

例 1：从代数式到矩阵 方程组 $\;\begin{cases}2x + y - z = 8\\ -3x - y + 2z = -11\\ -2x + y + 2z = -3\end{cases}\;$ 的增广矩阵是 $$(A\mid \vec{b}) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & \big|\; 8 \\ -3 & -1 & 2 & \big|\; -11 \\ -2 & 1 & 2 & \big|\; -3 \end{pmatrix}.$$

高斯消元的目标：通过初等行变换（上一章引入的三种）把增广矩阵化成行阶梯形（row echelon form, REF）或更进一步的行最简形（reduced row echelon form, RREF）。一旦化好，解可一眼读出。

行阶梯形 vs 行最简形 行阶梯形 ： 非零行在零行之上； 每行的首非零元（pivot）严格在上一行首非零元的右侧。 行最简形 ：在行阶梯形基础上，再要求 每个 pivot 等于 $1$； 每个 pivot 所在列的 其它元素全为 0 （不仅下方）。

例 2：完整消元演练 验证：把 $(x_1, x_2, x_3) = (2, 3, -1)$ 代回原方程组，得 $4+3+1 = 8$ ✓，$-6-3-2 = -11$ ✓，$-4+3-2 = -3$ ✓。

消元结束后，解的形态完全由两个数决定：系数矩阵的秩 $\mathrm{rank}(A)$ 与增广矩阵的秩 $\mathrm{rank}(A\mid \vec{b})$。"秩"直观上就是消完元后非零行的数目，也即"独立方程的个数"。

线性方程组的解判定 设 $A \vec{x} = \vec{b}$ 是 $m\times n$ 系统，记 $r = \mathrm{rank}(A)$，$r' = \mathrm{rank}(A\mid \vec{b})$。则： 唯一解：当且仅当 $r = r' = n$； 无穷多解：当且仅当 $r = r' \lt n$（自由未知量数 $= n-r$）； 无解：当且仅当 $r \lt r'$（必有 $r' = r+1$，对应一行 $0=\text{非零}$）。

例 3：三种秩对应三种解 方程组 $\begin{cases}x+y=3\\ x-y=1\end{cases}$：$r=r'=2$，解 $(2,1)$ 唯一。 方程组 $\begin{cases}x+y=3\\ 2x+2y=5\end{cases}$：$r=1, r'=2$，无解（两条平行线）。 方程组 $\begin{cases}x+y=3\\ 2x+2y=6\end{cases}$：$r=r'=1<2$，无穷多解（同一条直线，含一个自由参数）。

齐次方程组（Homogeneous System） 若 $\vec{b} = \vec{0}$，方程 $A\vec{x} = \vec{0}$ 称为齐次方程组。它至少有平凡解 $\vec{x} = \vec{0}$，因此一定有解。 关键性质：齐次方程组的解集 $N(A) = \{\vec{x} : A\vec{x} = \vec{0}\}$ 关于加法与数乘封闭，因此构成 $\mathbb{R}^n$ 的一个子空间，称为 $A$ 的零空间（null space）或核（kernel）。 $\dim N(A) = n - \mathrm{rank}(A)$，称为零度（nullity）。

非齐次解 = 特解 + 齐次通解 若 $\vec{x}_p$ 是 $A\vec{x} = \vec{b}$ 的一个特解，$\vec{x}_h$ 跑遍 $A\vec{x} = \vec{0}$ 的解集，则 $A\vec{x} = \vec{b}$ 的全部解恰为 $$\vec{x} = \vec{x}_p + \vec{x}_h.$$ 几何上：非齐次解集是过 $\vec{x}_p$、平行于零空间的仿射子空间（仿射 = "把过原点的子空间平移")。

例 4：自由参数的几何 $\;\begin{cases}x_1 + 2x_2 - x_3 = 1\end{cases}$（一个方程，三个未知量）：$r=r'=1$，自由未知量数 $=2$。 解集为 $\vec{x} = (1, 0, 0)^T + s(-2, 1, 0)^T + t(1, 0, 1)^T$，是 $\mathbb{R}^3$ 中的一张平面。

把方程组中的每一行看作一张平面 $a_i x + b_i y + c_i z = d_i$，方程组的解集就是这些平面的公共交集。三维有更丰富的几何：交于点、交于线、无公共交点……

三平面还可"两两平行"或"全部重合"等情形——本质都由 $r$ 与 $r'$ 决定。

许多看似不相关的问题，本质都是线性方程组：

化学方程式配平：$a\,\mathrm{C_3 H_8} + b\,\mathrm{O_2} \to c\,\mathrm{CO_2} + d\,\mathrm{H_2 O}$，原子守恒给出三条线性约束 $\Rightarrow$ 一个 $3\times 4$ 齐次方程组，解空间维数 $= 1$（化简后取最小整数）。
城市路网车流：在每个交叉口写"流入 = 流出"，得到一组线性方程，秩比变量数小，因此存在自由变量——这就是"路径选择"的数学体现。
电路基尔霍夫定律：节点电流方程 + 回路电压方程恰好构成线性系统 $A\vec{i} = \vec{b}$。

理解了 "$\mathrm{rank}$、自由变量、解空间" 这三件事，几乎所有"约束—自由度"问题都能被同一套语言描述。

练习 1：消元到底 用高斯消元解方程组 $\;\begin{cases}x+2y+3z = 9\\ 2x-y+z = 8\\ 3x+0\,y-z = 3\end{cases}$。 提示与答案 $R_2 \to R_2-2R_1, R_3 \to R_3-3R_1$ 后再消第二列，最终得 $(x,y,z)=(2,-1,3)$。

练习 2：判断秩 讨论方程组 $\;\begin{cases}x+y+z=1\\ 2x+2y+2z=k\end{cases}$ 在 $k$ 取何值时有解；有解时给出通解。 提示与答案 $k=2$ 时有无穷多解：$\vec{x}=(1,0,0)^T + s(-1,1,0)^T + t(-1,0,1)^T$；$k\ne 2$ 时无解。

练习 3：齐次方程的零空间 求 $A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\2&4&-2\end{pmatrix}$ 的零空间 $N(A)$，并给出一组基。 提示 $\mathrm{rank}(A)=1$，$\dim N(A)=2$。一组基：$(-2,1,0)^T,\;(1,0,1)^T$。

练习 4：化学配平 配平 $\;a\,\mathrm{C_2H_6} + b\,\mathrm{O_2} \to c\,\mathrm{CO_2} + d\,\mathrm{H_2 O}$。 提示 原子守恒：C: $2a=c$, H: $6a=2d$, O: $2b=2c+d$。取 $a=2$ 得 $b=7,c=4,d=6$，即 $2\mathrm{C_2H_6}+7\mathrm{O_2}\to 4\mathrm{CO_2}+6\mathrm{H_2O}$。