微分学 — 从高中数学到代数几何

导数（derivative）是用极限把"瞬时变化率"写出来的方法。它同时是几何的（切线斜率）、物理的（瞬时速度）、信息的（敏感度）、代数的（线性主部）。一旦掌握了这个对象，你就拿到了打开整个现代分析、最优化、机器学习的同一把钥匙。

导数 = 函数在一点的最佳线性近似。把曲线放大到无穷小尺度看，它就是一条直线，那条直线的斜率就是导数。

1. 导数的定义

导数：差商的极限 函数 $f$ 在点 $a$ 处可导，若下列极限存在： $$f'(a) \;=\; \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h} \;=\; \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$ 分子 $\Delta f = f(a+h)-f(a)$ 是函数变化量、分母 $h$ 是自变量变化量。差商 $\Delta f / h$ 是割线斜率；当 $h\to 0$ 时割线变成切线，斜率就是 $f'(a)$。 等价记法：$\dfrac{df}{dx}\bigg|_{x=a}$、$Df(a)$、$\dot f(a)$（物理）。

可导 ⟹ 连续（反之不真） 若 $f$ 在 $a$ 可导，则 $f$ 在 $a$ 连续。证明：$f(x)-f(a) = \tfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot(x-a) \to f'(a)\cdot 0 = 0$。 反例：$|x|$ 在 $0$ 连续但不可导（左斜率 $-1$，右斜率 $+1$，不相等）。"光滑"是比"连续"更高的要求。

例 1：用定义算 $f(x)=x^2$ 的导数 $\frac{(a+h)^2-a^2}{h} = \frac{2ah+h^2}{h} = 2a + h \xrightarrow{h\to 0} 2a$。所以 $f'(a)=2a$，即 $(x^2)' = 2x$。

基本法则 线性：$(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g'$ 积法则：$(fg)' = f'g + fg'$ 商法则：$\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$（$g\neq 0$） 幂法则：$(x^n)' = n x^{n-1}$（对一切实 $n$） 指对：$(e^x)' = e^x$、$(\ln x)' = 1/x$ 三角：$(\sin x)' = \cos x$、$(\cos x)' = -\sin x$

例 2：积法则示范 $\dfrac{d}{dx}\big[x^2 \sin x\big] = 2x\sin x + x^2 \cos x$。

复合函数求导 若 $u = f(x)$ 在 $x$ 可导，$y = g(u)$ 在 $u=f(x)$ 可导，则复合 $y = g(f(x))$ 在 $x$ 可导，且 $$\big(g\circ f\big)'(x) \;=\; g'\!\big(f(x)\big)\cdot f'(x), \qquad \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}.$$ 直觉：把 $f$ 看作"自变量到中间量的局部缩放因子 $f'(x)$"，$g$ 看作"中间量到因变量的局部缩放因子 $g'(u)$"——两段缩放级联，总缩放就是乘积。

例 3：链式法则实战 计算 $\dfrac{d}{dx}\sin(x^2)$。设 $u=x^2$，$y=\sin u$。$\dfrac{dy}{du} = \cos u$，$\dfrac{du}{dx} = 2x$。所以 $\dfrac{dy}{dx} = \cos(x^2)\cdot 2x$。 多重复合：$\dfrac{d}{dx}e^{\sin(x^2)} = e^{\sin(x^2)} \cdot \cos(x^2)\cdot 2x$ —— 三层链式。

不是所有曲线都能写成 $y = f(x)$ 的形式。比如圆 $x^2 + y^2 = 1$ 整体不是函数（一个 $x$ 对应两个 $y$）。隐函数定理告诉我们：在哪些点可以"局部"解出 $y$。

隐函数定理（一维版本） 设 $F(x,y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 附近连续可微，且 $F(x_0, y_0) = 0$、$\dfrac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0) \neq 0$。则存在 $x_0$ 的邻域与唯一可微函数 $y = \varphi(x)$，使得 $F(x, \varphi(x)) \equiv 0$，并且 $$\varphi'(x) \;=\; -\,\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial y}.$$ 条件 $F_y \neq 0$ 几何上意味着切线非竖直——只要切线不竖直，邻近的曲线就长得像一个函数图像。

高阶导数 $f''(x) = (f')'(x)$，$f^{(n)}(x) = (f^{(n-1)})'(x)$。$f''$ 描述变化率的变化率——加速度、曲率、凹凸。

Taylor 公式（带 Peano 余项） 若 $f$ 在 $a$ 附近有 $n$ 阶导数： $$f(a+h) \;=\; \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} h^k + o(h^n).$$ 这是把函数分解为常数项、线性项、二次项 ⋯⋯ 的展开。前两项 $f(a) + f'(a)h$ 就是线性化（切线）；加上 $\tfrac{f''(a)}{2}h^2$ 得到二次逼近。

例 4：常用展开 $e^x = 1 + x + \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^3}{3!} + \cdots$ $\sin x = x - \tfrac{x^3}{3!} + \tfrac{x^5}{5!} - \cdots$ $\cos x = 1 - \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^4}{4!} - \cdots$ $(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \tfrac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + \cdots$（二项展开）

Fermat 一阶必要条件 若 $f$ 在内点 $a$ 取得极值且 $f$ 在 $a$ 可导，则 $f'(a) = 0$。这种点称为 临界点 （critical point）。 逆不真：$f(x) = x^3$ 有 $f'(0)=0$ 但 $0$ 不是极值。

二阶判别（凹凸） 设 $f'(a)=0$、$f''(a)$ 存在。$f''(a)>0 \Rightarrow$ $a$ 是极小值（曲线凹向上）；$f''(a)<0 \Rightarrow$ $a$ 是极大值（凹向下）；$f''(a)=0 \Rightarrow$ 不能判定。 更一般地：$f$ 在区间上凸（convex）⟺ $f'' \ge 0$ ⟺ 任何弦在曲线上方。

例 5：求 $f(x) = x^3 - 3x$ 的极值 $f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$。$f''(x) = 6x$，$f''(1)=6>0$（极小，值 $-2$）；$f''(-1)=-6<0$（极大，值 $2$）。

偏离车道 → 损失 → 梯度 → 调整方向 把"方向盘角度 $\theta$"作为输入，"轨迹偏差 $u(\theta)$"作为中间量，"行车损失 $L(u)$"作为输出：$L = L(u(\theta))$。 系统持续计算 $\dfrac{dL}{d\theta} = \dfrac{dL}{du}\cdot\dfrac{du}{d\theta}$（链式法则），然后逆梯度方向微调 $\theta$（梯度下降）。这就是从巡航控制到端到端神经驾驶的统一原理——所有"自动调节"系统的灵魂都是导数。

练习 1（用定义求导） 用导数定义计算 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $a > 0$ 处的导数。 提示 $\dfrac{\sqrt{a+h}-\sqrt a}{h} = \dfrac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt a}\to \dfrac{1}{2\sqrt a}$。即 $(\sqrt x)' = \tfrac{1}{2\sqrt x}$。

练习 2（链式法则） 求 $\dfrac{d}{dx}\big[\ln(\cos(x^3))\big]$。 提示 三层链式：$\dfrac{1}{\cos(x^3)}\cdot(-\sin(x^3))\cdot 3x^2 = -3x^2\tan(x^3)$。

练习 3（隐函数） 设 $x^3 + y^3 = 6xy$（笛卡尔叶形线）。求点 $(3, 3)$ 处的 $\dfrac{dy}{dx}$。 提示 对方程两端关于 $x$ 求导：$3x^2 + 3y^2 y' = 6y + 6x y'$，解出 $y' = \dfrac{6y - 3x^2}{3y^2 - 6x}$。在 $(3,3)$：$y' = \dfrac{18-27}{27-18} = -1$。

练习 4（Taylor 展开） 写出 $f(x) = \ln(1+x)$ 在 $x=0$ 处的四阶 Taylor 展开式。 提示 $\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^4}{4} + o(x^4)$。一般项 $(-1)^{k+1}x^k/k$。

练习 5（优化） 把面积为 $A$ 的矩形周长最小化，求矩形的长宽。 提示 设长 $x$、宽 $A/x$。周长 $P(x) = 2x + 2A/x$。$P'(x) = 2 - 2A/x^2 = 0 \Rightarrow x = \sqrt A$。$P''(\sqrt A) = 4A/x^3 > 0$ ⟹ 极小。正方形给出最小周长。