如果说微分是"切片"——把一段曲线在无穷小尺度下看成直线、把变化率在一点钉住——那么积分就是"装回去"——把无穷多个无穷小切片汇总成一个整体的量。它度量面积、体积、总功、总能量、总概率。微分与积分通过一个意味深长的等式连接，称为微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）。
积分 = "无穷多个细薄长条"的面积之和。这个"和"通过越分越细的极限严格定义出来。
1. 黎曼积分：从分割到极限
分割（Partition）与黎曼和
给定区间 $[a,b]$，一个分割 $P$ 就是一组分点 $a = x_0 \lt x_1 < \cdots \lt x_n = b$。在每个子区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 中任取代表点 $x_i^*$。黎曼和（Riemann sum）定义为
$$S(f, P) \;=\; \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\,\Delta x_i, \qquad \Delta x_i = x_i - x_{i-1}.$$
每一项 $f(x_i^*)\Delta x_i$ 是一根矩形条的面积（高 $\times$ 宽）。
黎曼可积与定积分
若当分割细度 $\|P\| = \max_i \Delta x_i \to 0$ 时，黎曼和有极限（且与代表点 $x_i^*$ 的取法无关），称 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积，并定义
$$\int_a^b f(x)\,dx \;=\; \lim_{\|P\|\to 0}\sum_{i=1}^n f(x_i^*)\,\Delta x_i.$$
充分条件：连续函数在闭区间上必可积；只有有限多个间断点的有界函数也可积。
图解 1：分得越细，逼近越准
例 1：用黎曼和算 $\int_0^1 x^2\,dx$
取等距分割 $x_i = i/n$、代表点 $x_i^* = i/n$、$\Delta x = 1/n$：
$$S_n = \sum_{i=1}^n \left(\frac{i}{n}\right)^2 \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} \to \frac{1}{3}.$$
所以 $\int_0^1 x^2\,dx = 1/3$。
2. 微积分基本定理（FTC）
这是把"积分等于无穷多矩形之和"这件计算上几乎不可能的事，化归为"找一个原函数"的奇迹。
FTC（第二形式）—— Newton–Leibniz 公式
若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，$F$ 是 $f$ 的原函数（即 $F'(x) = f(x)$），则
$$\int_a^b f(x)\,dx \;=\; F(b) - F(a).$$
常记作 $\big[F(x)\big]_a^b$。积分被压缩成两个值的差。
FTC（第一形式）—— 变上限积分
设 $f$ 在 $[a,b]$ 连续。定义 $G(x) = \int_a^x f(t)\,dt$。则 $G$ 可微，且 $G'(x) = f(x)$。
含义：积分与求导是互逆的运算。先积再导，回到自己；先导再积，回到自己（差一常数）。
图解 2：微积分基本定理 = "面积 = 原函数高度差"
例 2：再算 $\int_0^1 x^2\,dx$
取原函数 $F(x) = x^3/3$。$\int_0^1 x^2\,dx = F(1) - F(0) = 1/3 - 0 = 1/3$。同样答案，秒解。
3. 换元积分（Substitution / Change of Variables）
第一类换元（链式法则的逆）
若 $u = g(x)$ 连续可微、$f$ 连续，则
$$\int f\big(g(x)\big)\,g'(x)\,dx \;=\; \int f(u)\,du, \qquad \int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du.$$
来源：把链式法则 $\big(F\circ g\big)'(x) = F'(g(x))g'(x)$ 反向积出来。换元就是链式法则的逆操作。
图解 3：换元 $u=g(x)$ 的几何意义 —— 面积守恒
例 3：换元实例
$\displaystyle\int_0^1 2x \cos(x^2)\,dx$。设 $u = x^2$，$du = 2x\,dx$。当 $x=0$ 时 $u=0$；$x=1$ 时 $u=1$。原积分 $= \int_0^1 \cos u\,du = [\sin u]_0^1 = \sin 1$。
4. 分部积分（Integration by Parts）
分部积分公式
若 $u, v$ 连续可微：$\displaystyle\int u\,dv \;=\; uv - \int v\,du$。等价形式：
$$\int_a^b u(x) v'(x)\,dx \;=\; \big[u(x)v(x)\big]_a^b - \int_a^b u'(x) v(x)\,dx.$$
来源：积法则 $(uv)' = u'v + uv'$ 取定积分即得。分部积分是积法则的逆。
例 4：经典套路
$\displaystyle\int x e^x\,dx$。取 $u=x$（求导变简单）、$dv = e^x\,dx$（积分容易）。则 $du = dx$、$v = e^x$。
$\int xe^x\,dx = xe^x - \int e^x\,dx = xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C$。
5. 反常积分（Improper Integrals）
无穷区间
$\displaystyle\int_a^{\infty} f(x)\,dx \;:=\; \lim_{R\to\infty}\int_a^R f(x)\,dx$。若极限存在则称收敛。
无界被积函数
若 $f$ 在 $b$ 附近无界（如 $1/\sqrt{b-x}$），定义 $\displaystyle\int_a^b f \;:=\; \lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_a^{b-\varepsilon} f(x)\,dx$。
例 5：两个对照
- $\displaystyle\int_1^\infty \frac{dx}{x^2} = \lim_{R\to\infty}\Big[-\tfrac{1}{x}\Big]_1^R = 1$。收敛。
- $\displaystyle\int_1^\infty \frac{dx}{x} = \lim_{R\to\infty}[\ln x]_1^R = +\infty$。发散。
临界指数是 $p=1$：$\int_1^\infty x^{-p}\,dx$ 收敛 $\Leftrightarrow$ $p>1$。这是无穷小级数与积分判别法的核心。
6. 积分的几何与物理
- 面积：$\displaystyle A = \int_a^b f(x)\,dx$（曲线下方与 $x$ 轴之间）。
- 两曲线之间的面积：$\displaystyle\int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx$（$f \ge g$）。
- 旋转体体积（disk 法）：$\displaystyle V = \pi\int_a^b f(x)^2\,dx$。
- 弧长：$\displaystyle L = \int_a^b \sqrt{1 + f'(x)^2}\,dx$。
- 变力做功：$\displaystyle W = \int_a^b F(x)\,dx$。
- 概率：$P(a\le X\le b) = \int_a^b p(x)\,dx$（$p$ = 概率密度）。
现实世界：手机充电 = 功率的积分
从瓦特到瓦时
充电器输出的功率 $P(t)$（瓦特）随时间变化——开始可能 30 W、电池接近满时降到 5 W。总充电量（焦耳）= $\displaystyle E = \int_0^T P(t)\,dt$。如果用瓦时（Wh）作单位、时间用小时，结果就是显示在电池管理芯片里的"已充入 mAh"。
同样的逻辑统治：里程表 = 速度的积分；血压计 = 压力随时间的积分；图像传感器曝光 = 入射光通量随时间的积分。"累积"，就是积分的灵魂。
7. 练习
练习 1（用 FTC 求值）
计算 $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx$ 与 $\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$。
提示
原函数 $\sin x$、$\ln x$。$[\sin x]_0^{\pi/2} = 1$；$[\ln x]_1^e = 1$。
练习 2（换元）
$\displaystyle\int_0^{\sqrt\pi} x \sin(x^2)\,dx$。
提示
$u=x^2$，$du=2x\,dx$。原积分 $=\tfrac12\int_0^\pi \sin u\,du = \tfrac12[-\cos u]_0^\pi = \tfrac12(1-(-1)) = 1$。
练习 3（分部积分）
$\displaystyle\int x^2 \ln x\,dx$。
提示
$u=\ln x$、$dv=x^2\,dx$；$du=dx/x$、$v=x^3/3$。$=\tfrac{x^3}{3}\ln x - \int \tfrac{x^2}{3}\,dx = \tfrac{x^3}{3}\ln x - \tfrac{x^3}{9} + C$。
练习 4（反常积分）
判断 $\displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt x}$ 是否收敛，并求其值。
提示
$\int_\varepsilon^1 x^{-1/2}\,dx = [2\sqrt x]_\varepsilon^1 = 2 - 2\sqrt\varepsilon \to 2$。收敛，值为 2。一般地 $\int_0^1 x^{-p}\,dx$ 收敛 $\Leftrightarrow$ $p<1$。
练习 5（几何应用）
求曲线 $y = \sqrt x$ 与 $y = x$ 在 $[0,1]$ 之间所围区域的面积，并算其绕 $x$ 轴旋转所得体积。
提示
面积 $\int_0^1(\sqrt x - x)\,dx = \tfrac23 - \tfrac12 = \tfrac16$。体积 $\pi\int_0^1(x - x^2)\,dx = \pi(\tfrac12 - \tfrac13) = \tfrac{\pi}{6}$。