从这里开始，我们正式踏入抽象代数的世界。"抽象"二字常令人却步，但它的核心思想极其朴素：把不同事物中相同的"运算结构"抽离出来，单独研究。整数加法、矩阵乘法、魔方旋转、化学分子的对称——它们看似毫不相干，却共享同一种结构。这种结构叫做群（Group）。
"群"是数学家从一切"对称"中抽出的最小骨架——只要有运算、有恒等、有逆，就可以做群论。
1. 群的公理化定义
群（Group）
设 $G$ 是一个非空集合，$\star: G\times G\to G$ 是其上的一个二元运算。若满足下列四条公理，则称 $(G,\star)$ 是一个群：
- 封闭性（Closure）：$\forall a, b\in G,\ a\star b\in G$。
- 结合律（Associativity）：$\forall a,b,c\in G,\ (a\star b)\star c = a\star(b\star c)$。
- 单位元（Identity）：$\exists e\in G$ 使 $\forall a\in G,\ e\star a = a\star e = a$。
- 逆元（Inverse）：$\forall a\in G,\ \exists a^{-1}\in G$ 使 $a\star a^{-1} = a^{-1}\star a = e$。
单位元是唯一的，每个元素的逆元也是唯一的（练习 1）。
阿贝尔群（Abelian Group / Commutative Group）
若群 $(G,\star)$ 还满足交换律：$\forall a,b\in G,\ a\star b = b\star a$，则称 $G$ 为阿贝尔群（以挪威数学家 Niels Abel 命名）。
注意：交换律不是群的公理，多数有趣的群（如 $S_n$、$GL_n$、$D_n$）都不是阿贝尔的。
图解 1：群公理的四象限直觉
2. 群的例子大全
抽象的定义只有在大量例子的对照下才会"活过来"。下面是必须熟悉的几个标志性群，它们将在整个抽象代数与代数几何中反复出现。
例 1：$(\mathbb{Z}, +)$ 整数加法群
整数集 $\mathbb{Z}$ 配上加法是阿贝尔群：单位元 $e=0$，$a$ 的逆元是 $-a$。结合律和交换律来自整数加法的常识。
这是最朴素的无限循环群——每个元素都是 $1$ 的整数倍。
例 2：$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ 模 $n$ 加法群（循环群 $C_n$）
把 $\mathbb{Z}$ 按"差是 $n$ 的倍数"的等价关系分类，得到 $n$ 个等价类 $\{[0],[1],\dots,[n-1]\}$。加法定义为 $[a]+[b]=[a+b]$。
$|G|=n$，是有限阿贝尔群。例：$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ = 时钟算术（12 + 1 = 1，13 = 1 时；下一节会重逢）。
例 3：$(GL_n(\mathbb{R}), \cdot)$ 一般线性群
$GL_n(\mathbb{R})$ = 全体 $n\times n$ 实可逆矩阵集合，运算是矩阵乘法。单位元 = 单位矩阵 $I$；逆元 = 矩阵的逆 $A^{-1}$。
$n\geq 2$ 时非阿贝尔（矩阵乘法一般不交换）。这是几何变换的代名词。
例 4：$S_n$ 对称群
$S_n$ = $\{1,2,\dots,n\}$ 上所有双射（置换）的集合，运算是函数复合。$|S_n| = n!$。$n\geq 3$ 时非阿贝尔。
Cayley 定理（下下章）告诉我们：每一个有限群都是某个 $S_n$ 的子群——$S_n$ 是"群的母体"。
例 5：$D_n$ 二面体群
$D_n$ = 正 $n$ 边形所有刚性对称变换（旋转 + 翻转）构成的群，$|D_n| = 2n$。它由两个生成元 $r$（旋转 $360°/n$）与 $s$（沿一条对称轴翻转）生成：
$$ D_n = \langle r, s \mid r^n = e,\ s^2 = e,\ srs = r^{-1} \rangle $$
$D_3 \cong S_3$：正三角形的对称恰好对应 3 元素的所有置换。下面用 SVG 详细展开。
图解 2：二面体群 $D_3$ 的 6 种对称操作
3. 群的阶 与 元素的阶
群的阶（Order of a Group）
群 $G$ 的元素个数 $|G|$ 称为群的阶。$|G|$ 有限时称有限群，否则称无限群。
例：$|\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}| = n$；$|S_n| = n!$；$|D_n| = 2n$；$|GL_n(\mathbb{R})| = \infty$。
元素的阶（Order of an Element）
元素 $g\in G$ 的阶是使 $g^n = e$ 的最小正整数 $n$，记作 $|g|$ 或 $\mathrm{ord}(g)$。若不存在这样的 $n$，则记 $|g|=\infty$。
例（$D_3$）：$|e|=1$，$|r|=3$，$|s|=2$。一般来说 $|g|$ 必整除 $|G|$（Lagrange 推论，下一章证）。
图解 3：从无限到有限 —— $\mathbb{Z}$ vs $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$
4. 群的层级关系
所有的群构成最广的家族；阿贝尔群是其交换的子家族；循环群（由单一元素生成）则是阿贝尔群中最简单的"原子"。
图解 4：群家族的嵌套
5. 生活化实例：魔方就是一个群
3×3 魔方所有可达状态构成一个庞大的有限群——魔方群，记作 $\mathbf{R}$，阶为
$$ |\mathbf{R}| = \frac{8!\cdot 3^8 \cdot 12!\cdot 2^{12}}{12} = 43{,}252{,}003{,}274{,}489{,}856{,}000 \approx 4.3\times 10^{19}.$$
其结构源自六个面的旋转——这就是 6 个生成元：
所谓"还原魔方"，就是在魔方群里寻找把当前状态映射为单位元 $e$ 的元素——这是群论问题而非动手习题。
6. 练习
练习 1（唯一性）
证明：群中单位元唯一；每个元素的逆元唯一。
提示
设 $e_1, e_2$ 都是单位元，则 $e_1 = e_1\star e_2 = e_2$。
设 $b, c$ 都是 $a$ 的逆，则 $b = b\star e = b\star(a\star c) = (b\star a)\star c = e\star c = c$。
练习 2（消去律）
设 $G$ 是群。证明消去律：$ax=ay\Rightarrow x=y$，$xa=ya\Rightarrow x=y$。
提示
两边同乘 $a^{-1}$。
练习 3（识别群）
下列哪些是群？请说明哪条公理成立或失败。
- $(\mathbb{N}, +)$（自然数加法，含 $0$）
- $(\mathbb{Z}, \cdot)$（整数乘法）
- $(\mathbb{Q}^\times, \cdot)$（非零有理数乘法）
- $2\times 2$ 实矩阵集 $M_2(\mathbb{R})$ 配矩阵乘法
提示
$\mathbb{N}$：缺逆元（$1$ 的加法逆 $-1\notin\mathbb{N}$）。$(\mathbb{Z},\cdot)$：缺逆元（$2$ 在 $\mathbb{Z}$ 中无乘法逆）。$(\mathbb{Q}^\times,\cdot)$：✓ 阿贝尔群。$M_2(\mathbb{R})$ 配乘法：奇异矩阵无逆，缺第 4 条；但 $GL_2(\mathbb{R})\subset M_2$ 是群。
练习 4（元素的阶）
在 $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ 中分别求 $[3]$ 与 $[5]$ 的阶。
提示
$[3]$：$3,6,9,12=0$，故 $|[3]|=4$。$[5]$：与 $12$ 互素，故 $[5]$ 是生成元，$|[5]|=12$。一般 $|[k]| = 12/\gcd(k,12)$。
练习 5（$D_3$ 乘法表）
列出 $D_3 = \{e, r, r^2, s, sr, sr^2\}$ 的完整 $6\times 6$ 乘法表，验证 $srs = r^{-1}$。
提示
把 $r^3=e$、$s^2=e$、$sr = r^{-1}s = r^2 s$ 这三条规则反复用就够了。例如 $(sr)(sr) = s(rs)r = s(sr^{-1})r = s^2 r^{-1}r = e$。