有了"群"这块整体岩石，下一步要看它的内部结构：是否有更小的"群中之群"？这就是子群（Subgroup）。一旦有了子群 $H\leq G$，整个 $G$ 就被自然地"切片"成大小相等的陪集（Coset），由此得到群论第一个真正深刻的结果——Lagrange 定理。当陪集本身能再做成群时（"正规子群"），我们就得到商群，这是同态、同构定理的舞台。
子群把群"放大镜"地看；陪集把群"切片"；正规子群让切片本身成为新群——这是抽象代数最美的循环。
1. 子群的定义与判定
子群（Subgroup）
设 $G$ 是群，$H\subseteq G$ 是非空子集。若 $H$ 在 $G$ 的运算下本身构成群，则称 $H$ 是 $G$ 的子群，记 $H\leq G$。若 $H\neq G$，记 $H\lt G$，称真子群。
子群判定定理（Subgroup Test）
非空子集 $H\subseteq G$ 是子群 $\iff$
$$ \forall a, b\in H,\quad a b^{-1}\in H. $$
这一条等式同时蕴含：封闭性（取 $b' = b^{-1}$ 后）、含单位元（取 $a=b$ 得 $e\in H$）、含逆元（取 $a=e$ 得 $b^{-1}\in H$）。结合律自动从 $G$ 继承。
例 1：标准子群
- $\{e\}\leq G$（平凡子群） · $G\leq G$（自身）
- $n\mathbb{Z} = \{nk : k\in\mathbb{Z}\} \leq \mathbb{Z}$，例如 $2\mathbb{Z}$ = 偶数
- $SL_n(\mathbb{R}) = \{A\in GL_n(\mathbb{R}) : \det A = 1\}\leq GL_n(\mathbb{R})$（特殊线性群）
- $O(n) = \{A : A^\top A = I\}\leq GL_n(\mathbb{R})$（正交群）
- $A_n \leq S_n$（交错群 = 偶置换；$|A_n| = n!/2$）
- $\langle r\rangle = \{e, r, r^2\}\leq D_3$（旋转子群）
由元素生成的子群
设 $S\subseteq G$。包含 $S$ 的最小子群称为 $S$ 生成的子群，记 $\langle S\rangle$。当 $S=\{g\}$ 时：
$$ \langle g\rangle = \{g^n : n\in\mathbb{Z}\} = \{\dots, g^{-2}, g^{-1}, e, g, g^2, \dots\}. $$
$\langle g\rangle$ 是循环群，其阶等于元素 $g$ 的阶 $|g|$。
2. 陪集 —— 把群切片
左陪集 / 右陪集（Left / Right Coset）
设 $H\leq G$，$g\in G$。集合
$$ gH = \{gh : h\in H\},\qquad Hg = \{hg : h\in H\} $$
分别称为 $g$ 关于 $H$ 的左陪集与右陪集。
陪集的基本性质
- $g\in gH$（取 $h=e$）。
- $g_1 H = g_2 H \iff g_1^{-1} g_2\in H$。
- 两个不同的左陪集不相交。
- 所有左陪集大小相同：$|gH| = |H|$（因为映射 $h\mapsto gh$ 是双射）。
- 群 $G$ 是它所有左陪集的不交并：$G = \bigsqcup_i g_i H$。
换言之：陪集 $\Leftrightarrow$ 等价关系 $g_1\sim g_2\iff g_1^{-1}g_2\in H$ 的等价类（回顾阶段1·第12章）。
图解 1：陪集分割 —— $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ 中 $H = \{0,4,8\}$
3. Lagrange 定理
Lagrange 定理（Theorem of Lagrange）
设 $G$ 是有限群，$H\leq G$。则
$$ |G| = [G:H]\cdot |H|. $$
其中 $[G:H]$ = 左陪集的个数，称为 $H$ 在 $G$ 中的指数（index）。
证明思路：$G$ 是 $[G:H]$ 个左陪集的不交并，每个陪集都有 $|H|$ 个元素。$\square$
三个直接推论
- 子群阶整除群阶：$|H|\mid |G|$。
- 元素阶整除群阶：$\mathrm{ord}(g)\mid |G|$（取 $H = \langle g\rangle$）。
- 素数阶群必循环：若 $|G|=p$ 是素数，则 $G$ 是循环群（任何非单位元 $g$ 的阶都是 $p$，故 $\langle g\rangle = G$）。
图解 2：Lagrange 定理可视化 —— "群被等分"
4. 正规子群与商群
陪集只是把群"切片"，但切片本身一般不能再做成群——因为左陪集与右陪集不一定相等。当它们相等时，神奇的事情就会发生。
正规子群（Normal Subgroup）
子群 $N\leq G$ 称为正规子群，记作 $N\trianglelefteq G$，若满足下列等价条件之一：
- $\forall g\in G,\ gN = Ng$（左右陪集相同）
- $\forall g\in G,\ gNg^{-1}\subseteq N$（在共轭下封闭）
- $\forall g\in G, n\in N,\ gng^{-1}\in N$
注意：阿贝尔群中，每个子群都是正规子群（左右陪集自动相等）。
例 2：典型的正规子群
- $\{e\}\trianglelefteq G$，$G\trianglelefteq G$。
- $n\mathbb{Z}\trianglelefteq \mathbb{Z}$（$\mathbb{Z}$ 阿贝尔）。
- $SL_n(\mathbb{R})\trianglelefteq GL_n(\mathbb{R})$（行列式为 $1$ 的矩阵在共轭下保持行列式为 $1$）。
- $A_n\trianglelefteq S_n$（指数 $2$ 的子群必正规）。
- 但 $\langle s\rangle = \{e, s\}$ 不是 $D_3$ 的正规子群。
商群（Quotient Group）的构造
设 $N\trianglelefteq G$。在所有左陪集 $G/N = \{gN : g\in G\}$ 上定义运算
$$ (g_1 N)\cdot (g_2 N) := (g_1 g_2) N. $$
正规性恰好保证此运算良定义（与代表元选取无关）。$G/N$ 在此运算下是群，称为 $G$ 模 $N$ 的商群。
- 单位元：$eN = N$
- $gN$ 的逆元：$g^{-1}N$
- $|G/N| = [G:N] = |G|/|N|$（有限情形）
例 3：$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是商群
取 $G=\mathbb{Z}$，$N = n\mathbb{Z}$。陪集就是同余类 $[k] = k + n\mathbb{Z}$。商群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 上的加法 $[a]+[b]=[a+b]$ 正是模 $n$ 加法——这是商群最朴素的实例，也是名称来源。
图解 3：商映射 $\pi: G\to G/N$
5. 生活化实例：12 小时时钟 = $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$
当我们说"现在是 14 点"，写到表盘上是 $2$ 点——这就是商群。
例 4：从时间到群论
- $G = \mathbb{Z}$（一切整数小时数）
- $N = 12\mathbb{Z}$（12 小时一个周期；早上 8 点 + 24 小时 = 第二天早上 8 点）
- 商群 $G/N = \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ = 表盘上的 12 个数字
- "$8 + 7 = 3$"（8 点 + 7 小时 = 下午 3 点）就是商群加法
类比：每周 = $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$（"周三 + 5 天 = 周一"），每年 = $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$（月份）……
"取模"这个看似低级的操作，背后正是商群的庄严结构。
6. 练习
练习 1（子群判定）
设 $G$ 是群，$H_1, H_2\leq G$。证明 $H_1\cap H_2\leq G$，但 $H_1\cup H_2$ 一般不是子群（什么时候是？）。
提示
交集：用判定定理直接验证。并集是子群 $\iff H_1\subseteq H_2$ 或 $H_2\subseteq H_1$（反例：$2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}$ 中 $2+3=5\notin 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}$）。
练习 2（陪集分割）
列出 $S_3 = \{e, r, r^2, s, sr, sr^2\}$ 关于 $H = \langle s\rangle = \{e, s\}$ 的所有左陪集与右陪集。它们相同吗？$H$ 是 $S_3$ 的正规子群吗？
提示
左陪集：$H = \{e, s\},\ rH = \{r, rs\},\ r^2 H = \{r^2, r^2 s\}$。
右陪集：$H = \{e, s\},\ Hr = \{r, sr\},\ Hr^2 = \{r^2, sr^2\}$。
由于 $rH \neq Hr$（$rs\neq sr$），$H$ 不是正规子群。
练习 3（Lagrange 应用）
证明：阶为 $p$（素数）的群必同构于 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$。阶为 $4$ 的群有几种（同构意义下）？
提示
$|G|=p$：任意非单位元 $g$ 的阶整除 $p$，故为 $p$，$\langle g\rangle = G$ 循环。
$|G|=4$：两种——$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$（循环）、$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$（Klein 四群）。后者每个非单位元阶都为 $2$。
练习 4（指数 $2$ 必正规）
设 $H\leq G$ 且 $[G:H] = 2$。证明 $H\trianglelefteq G$。
提示
只有两个左陪集：$H$ 与 $G\setminus H$；同样只有两个右陪集：$H$ 与 $G\setminus H$。故 $gH = Hg$ 对所有 $g$ 成立。
练习 5（商群计算）
$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 模其子群 $\{0,2,4\}$ 后是什么群？画出乘法表。
提示
$N=\{0,2,4\}$，$G/N$ 有两个元素：$\{0,2,4\}$ 与 $\{1,3,5\}$，加法即 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$（"偶 + 偶 = 偶，奇 + 奇 = 偶"）。