群是一种纯结构，但群之所以重要，是因为它作用在别的对象上——使旋转作用在三角形上、置换作用在 $\{1,\dots,n\}$ 上、矩阵作用在向量空间上。群作用（Group Action）这一概念把抽象群论与几何、组合、计数、密码学等领域全部缝合在一起。
这一章的核心是：轨道-稳定子定理（计数的核武器）、Cayley 定理（每个群都是置换群）、对称群 $S_n$ 的内部结构、以及著名的 Burnside 引理（计数不等价着色，例如"用 3 种颜色染立方体的 6 个面，本质上有几种染法？"）。
"群作用 = 把抽象对称变成可触摸的几何"——Felix Klein 的 Erlangen 纲领正是从这里开始的。
1. 群作用的定义
群作用（Group Action）
设 $G$ 是群，$X$ 是非空集合。$G$ 在 $X$ 上的（左）作用是映射
$$ \alpha: G\times X\to X,\quad (g, x)\mapsto g\cdot x $$
满足：
- 单位元作用：$\forall x\in X,\ e\cdot x = x$。
- 结合律：$\forall g, h\in G, x\in X,\ (gh)\cdot x = g\cdot (h\cdot x)$。
等价表述：作用就是一个群同态 $\varphi: G\to S_X$（$X$ 上的对称群），$g\mapsto (x\mapsto g\cdot x)$。
例 1：作用的范例库
- $D_n$ 作用在正 $n$ 边形顶点集上（旋转 + 翻转）。
- $S_n$ 作用在 $\{1,2,\dots,n\}$ 上（置换 = 双射）。
- $GL_n(\mathbb{R})$ 作用在 $\mathbb{R}^n$ 上（线性变换）。
- $G$ 作用在自身上：左乘 $g\cdot x = gx$ 或共轭 $g\cdot x = gxg^{-1}$。
- $G$ 作用在子群集合 $\{H\leq G\}$ 上：$g\cdot H = gHg^{-1}$（共轭子群）。
2. 轨道与稳定子
轨道（Orbit）与稳定子（Stabilizer）
设 $G$ 作用于 $X$。对每个 $x\in X$：
- 轨道：$\mathrm{Orb}(x) = G\cdot x = \{g\cdot x : g\in G\}\subseteq X$（$x$ 在群作用下能"走到"的所有位置）。
- 稳定子：$\mathrm{Stab}(x) = G_x = \{g\in G : g\cdot x = x\}\leq G$（保持 $x$ 不动的所有元素）。
$\mathrm{Stab}(x)$ 是 $G$ 的子群（验证：判定定理），但一般不是正规的。
轨道分割 $X$
定义关系 $x\sim y\iff\exists g\in G,\ y = g\cdot x$。这是 $X$ 上的等价关系，等价类恰好就是各个轨道。
故 $X$ 是诸轨道的不交并：$X = \bigsqcup_i \mathrm{Orb}(x_i)$（取每个轨道的代表元）。
轨道-稳定子定理（Orbit-Stabilizer Theorem）
对任意 $x\in X$，存在双射
$$ G\,/\,\mathrm{Stab}(x) \;\xrightarrow{\sim}\; \mathrm{Orb}(x),\qquad g\,\mathrm{Stab}(x)\;\mapsto\; g\cdot x. $$
当 $G$ 有限时立刻得到
$$ \boxed{\quad |G| \;=\; |\mathrm{Orb}(x)| \cdot |\mathrm{Stab}(x)| \quad} $$
这是 Lagrange 定理的"几何版本"——也是几乎所有"对称物体计数"问题的核心引擎。
图解 1：$D_4$ 作用于正方形顶点 — 轨道与稳定子
3. Cayley 定理
Cayley 定理（Cayley's Theorem）
每一个群 $G$ 都同构于某个对称群 $S_X$ 的子群。当 $|G| = n$ 有限时，$G\hookrightarrow S_n$。
构造：让 $G$ 通过左乘作用在自身上：$\lambda_g: G\to G,\ x\mapsto gx$。每个 $\lambda_g$ 都是双射（$\lambda_{g^{-1}}$ 是其逆）。映射
$$ \lambda: G\to S_G,\quad g\mapsto \lambda_g $$
是单射群同态——这就是嵌入。
哲学意义："群论本质就是置换群论"。但这并不意味着 $S_n$ 是终点，反而是因为 $S_n$ 太大、内部结构丰富，研究子群成了主要任务。
图解 2：$S_3$ 的 Cayley 图（生成元 $r$ 与 $s$）
$S_3 = \{e, r, r^2, s, rs, r^2 s\}$。Cayley 图把每个群元素画成节点，每个生成元配上一种颜色的有向边——它把一个抽象群"画"出来。
4. 对称群 $S_n$ 与置换的轮换分解
置换的双行记号与轮换记号
设 $\sigma\in S_n$。双行记号把 $i$ 和 $\sigma(i)$ 上下对应：
$$ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 2 & 1\end{pmatrix}. $$
轮换记号把 $\sigma$ 拆成不相交的循环：从 $1$ 出发追踪 $1\to 3\to 5\to 1$（一个 3-轮换），再从 $2$ 出发 $2\to 4\to 2$（一个 2-轮换）：
$$ \sigma = (1\ 3\ 5)(2\ 4). $$
不相交的轮换互相交换。轮换分解唯一（不计顺序与起点）。
$S_n$ 的基本事实
- $|S_n| = n!$
- $2$-轮换叫做对换（transposition），如 $(1\ 2)$。
- 每个置换都可写成对换的乘积，对换数的奇偶性由置换唯一决定。
- 偶置换的全体记作 $A_n$（交错群），$A_n\trianglelefteq S_n$，$|A_n| = n!/2$。
- $\mathrm{sgn}: S_n\to\{\pm 1\}$ 是同态，核 = $A_n$。
图解 3：置换 $\sigma = (1\ 3\ 5)(2\ 4)$ 的双重视角
5. Burnside 引理（计数不等价着色）
Burnside 引理（Burnside / Cauchy–Frobenius）
设有限群 $G$ 作用在有限集 $X$ 上。不同轨道的个数等于
$$ |X/G| \;=\; \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X^g|, $$
其中 $X^g = \{x\in X : g\cdot x = x\}$ = 在 $g$ 作用下不动的点的集合。
直觉：每个元素被它的稳定子"重复数"了 $|\mathrm{Stab}(x)|$ 次，求平均后正是轨道数。
例 2：项链问题
用 $2$ 种颜色串成 $4$ 颗珠子的圆形项链，本质上有几种？
$X = $ 全部 $2^4 = 16$ 种线性着色；$G = D_4$ 旋转 + 翻转，$|G| = 8$。
对每个 $g\in D_4$ 数 $|X^g|$，求和除以 $|G|$，得 $|X/G| = 6$。
6. 生活化实例：RSA 加密 = 有限群的群论
RSA 加密是公钥密码学最经典的算法，它的安全性建立在有限阿贝尔群上的离散对数难题。
"全世界每秒数千万次 HTTPS 握手"——抽象群论 默默 守护 着 现代互联网。
7. 练习
练习 1（轨道-稳定子）
$D_4$ 作用在正方形 $4$ 条边的集合上。求一条边的轨道与稳定子。
提示
$|\mathrm{Orb}(\text{edge})| = 4$（任一边可被搬到任一边），$|\mathrm{Stab}(\text{edge})| = 2$（恒等 + 关于该边中垂线的翻转），$8 = 4\cdot 2$ ✓。
练习 2（轮换分解）
把 $\sigma = \begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\4&6&5&1&3&2\end{pmatrix}$ 写成不交轮换之积，并求 $\mathrm{ord}(\sigma)$。
提示
$\sigma = (1\ 4)(2\ 6)(3\ 5)$，三个对换。阶 = 三轮换长度的 $\mathrm{lcm}(2,2,2) = 2$。
练习 3（$S_3$ 的子群）
列出 $S_3$ 的所有子群，并指明哪些是正规的。
提示
$\{e\}$、$\langle(1\,2)\rangle = \{e,(1\,2)\}$、$\langle(1\,3)\rangle$、$\langle(2\,3)\rangle$（共 3 个 2 阶子群）、$A_3 = \{e,(1\,2\,3),(1\,3\,2)\}$、$S_3$。其中 $\{e\}$、$A_3$、$S_3$ 是正规的；3 个 2 阶子群不是正规的（互相共轭）。
练习 4（Cayley）
把 Klein 四群 $V_4 = \{e,a,b,c\}$ 嵌入 $S_4$ 中（写出每个元素对应的置换）。
提示
$e\to\mathrm{id}$，$a\to(1\,2)(3\,4)$，$b\to(1\,3)(2\,4)$，$c\to(1\,4)(2\,3)$。验证：$ab = c$（即两个不交对换之积仍是不交对换之积，对应 Klein 四群结构）。
练习 5（Burnside 实战）
用 $2$ 种颜色给立方体的 $6$ 个面着色，本质上有几种？（$G = $ 立方体旋转群，$|G| = 24$）
提示
由 Burnside：$\frac{1}{24}\sum_g |X^g|$。$X = 2^6 = 64$。各类旋转的不动点个数：恒等 $64$；6 个面对面 $90°,270°$ 旋转 $\to 2^3 = 8$（共 6 个）；3 个面对面 $180°$ $\to 2^4 = 16$（共 3 个）；8 个角对角 $120°$ 旋转 $\to 2^2 = 4$（共 8 个）；6 个棱对棱 $180°$ $\to 2^3 = 8$（共 6 个）。
合计 $\frac{64 + 6\cdot 8 + 3\cdot 16 + 8\cdot 4 + 6\cdot 8}{24} = \frac{240}{24} = 10$ 种。