到目前为止，我们都在研究单个群 $G$ 的结构。但数学的真正威力来自结构之间的映射。线性代数研究"线性映射"——保持加法和数乘的函数；群论研究群同态（Group Homomorphism）——保持群运算的函数。
同态像一座桥：把一个群的结构"翻译"到另一个群里。两个群之间一旦存在同构（双射同态），它们在群论的眼中就是同一个对象。这一章的高潮——第一同构定理——是抽象代数最优雅的定理之一。
"同构"是数学家说"同一种东西"的方式：不是字面相等，而是结构相等。
1. 群同态的定义
群同态（Homomorphism）
设 $(G, \star)$、$(H, \cdot)$ 为群。映射 $\varphi: G\to H$ 称为群同态，若
$$ \forall a, b\in G,\quad \varphi(a\star b) = \varphi(a)\cdot \varphi(b). $$
用通俗的话说："先运算再映射" = "先映射再运算"。同态保持的是"运算的形状"，不一定保持元素本身。
同态的基本性质
若 $\varphi: G\to H$ 是群同态，则：
- 保单位元：$\varphi(e_G) = e_H$。
- 保逆元：$\forall g\in G,\ \varphi(g^{-1}) = \varphi(g)^{-1}$。
- 保幂：$\forall n\in\mathbb{Z},\ \varphi(g^n) = \varphi(g)^n$。
- 保子群：若 $K\leq G$，则 $\varphi(K)\leq H$；若 $L\leq H$，则 $\varphi^{-1}(L)\leq G$。
- 正规性反向保留：$L\trianglelefteq H \Rightarrow \varphi^{-1}(L)\trianglelefteq G$。
简短证明（1）：$\varphi(e_G) = \varphi(e_G\star e_G) = \varphi(e_G)\cdot\varphi(e_G)$，两边乘 $\varphi(e_G)^{-1}$ 得 $e_H = \varphi(e_G)$。
例 1：常见同态
- $\varphi: \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$，$k\mapsto [k]$（商映射，满射）
- $\det: GL_n(\mathbb{R})\to \mathbb{R}^\times$（行列式，乘法保持：$\det(AB) = \det A\cdot\det B$）
- $\mathrm{sgn}: S_n\to \{\pm 1\}$（置换的奇偶号）
- $\exp: (\mathbb{R}, +)\to(\mathbb{R}^+, \cdot)$，$x\mapsto e^x$（同构！）
- $\varphi: \mathbb{Z}\to G$，$k\mapsto g^k$（任意 $g\in G$ 都给出同态）
- $x\mapsto e_H$（平凡同态）
2. 核（Kernel）与像（Image）
同态的核与像
设 $\varphi: G\to H$ 是群同态。
- 核（Kernel）：$\ker\varphi = \{g\in G : \varphi(g) = e_H\} = \varphi^{-1}(e_H)$
- 像（Image）：$\mathrm{Im}\,\varphi = \varphi(G) = \{\varphi(g) : g\in G\}$
关键事实：
- $\ker\varphi \trianglelefteq G$（核必是正规子群！）
- $\mathrm{Im}\,\varphi \leq H$（一般不必正规）
- $\varphi$ 单射 $\iff \ker\varphi = \{e_G\}$
- $\varphi$ 满射 $\iff \mathrm{Im}\,\varphi = H$
图解 1：同态 $\varphi: G\to H$ 的核与像
3. 同构 —— "结构相同"
群同构（Isomorphism）
双射的群同态 $\varphi: G\to H$ 称为群同构。若存在同构 $G\to H$，记作 $G\cong H$，称 $G$ 与 $H$ 同构。
同构是群论的"等价关系"——同构的群在所有群论性质上不可区分。
例 2：经典同构
- $\exp: (\mathbb{R}, +)\xrightarrow{\sim} (\mathbb{R}^+,\cdot)$，逆 $\log$。把"加法"翻译成"乘法"——这就是计算尺的原理。
- $D_3 \cong S_3$（正三角形对称 = 三个顶点的置换）。
- $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong $ 复数 $n$ 次单位根群 $\mu_n = \{e^{2\pi i k/n}\}$。
- $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, +) \not\cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, +)$（前者有 $4$ 阶元素，后者没有）。
4. 第一同构定理
第一同构定理（Fundamental Homomorphism Theorem）
设 $\varphi: G\to H$ 是群同态。则
$$ \boxed{\quad G/\ker\varphi \;\cong\; \mathrm{Im}\,\varphi \quad} $$
更精确地说：商映射 $\pi: G\to G/\ker\varphi$ 与 $\varphi$ 之间存在唯一的群同构
$$ \bar\varphi: G/\ker\varphi \xrightarrow{\sim} \mathrm{Im}\,\varphi,\quad gN\mapsto \varphi(g) $$
使得 $\varphi = \bar\varphi\circ\pi$。这个等式画成图就是下面的交换图。
图解 2：第一同构定理的交换图
定理证明（速览）
令 $N=\ker\varphi$。定义 $\bar\varphi(gN) := \varphi(g)$。
- 良定义：若 $g_1 N = g_2 N$，则 $g_1^{-1}g_2\in N$，$\varphi(g_1)^{-1}\varphi(g_2) = \varphi(g_1^{-1}g_2) = e$，故 $\varphi(g_1) = \varphi(g_2)$。
- 同态：$\bar\varphi(g_1 N\cdot g_2 N) = \bar\varphi((g_1 g_2)N) = \varphi(g_1 g_2) = \varphi(g_1)\varphi(g_2) = \bar\varphi(g_1 N)\bar\varphi(g_2 N)$。
- 单射：$\bar\varphi(gN) = e \Rightarrow \varphi(g) = e \Rightarrow g\in N \Rightarrow gN = N$（即商群单位元）。
- 满射到 $\mathrm{Im}\,\varphi$：直接按定义。$\square$
图解 3：经典例子 — 行列式同态 $\det: GL_n(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^\times$
把第一同构定理用在最具体的例子上：行列式 $\det$ 是一个群同态——把矩阵乘法翻译为实数乘法。
5. 第二、第三同构定理（简介）
第二同构定理（Diamond / Parallelogram Lemma）
设 $H\leq G$，$N\trianglelefteq G$。则 $HN\leq G$，$N\trianglelefteq HN$，$H\cap N\trianglelefteq H$，且
$$ H/(H\cap N)\;\cong\;HN/N. $$
这个定理在简单群分类、子群格分析中极其常用。
第三同构定理（"商的商" Theorem）
设 $K\trianglelefteq G$，$N\trianglelefteq G$，且 $K\subseteq N$。则 $N/K\trianglelefteq G/K$，且
$$ (G/K)/(N/K)\;\cong\;G/N. $$
"先商小再商大 = 直接商大"。
6. 练习
练习 1（验证同态）
设 $\varphi: \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$，$\varphi(n) = 5n$。证明它是同态。是单射吗？满射吗？$\ker\varphi$ 与 $\mathrm{Im}\,\varphi$ 是什么？
提示
$\varphi(a+b)=5(a+b)=5a+5b=\varphi(a)+\varphi(b)$。单射（$\ker = \{0\}$），不满（$\mathrm{Im} = 5\mathbb{Z}$）。
由第一同构定理：$\mathbb{Z}/\{0\} \cong 5\mathbb{Z}$，即 $\mathbb{Z}\cong 5\mathbb{Z}$。
练习 2（指数同态）
$\exp: (\mathbb{R}, +)\to(\mathbb{R}^+, \cdot)$ 是同构。其逆 $\log$ 也是同构。请用同态性写出对应等式。
提示
$\exp(a+b) = e^{a+b} = e^a\cdot e^b = \exp(a)\cdot\exp(b)$；$\log(xy) = \log x + \log y$。这是计算尺的全部魔法所在。
练习 3（核与正规子群）
设 $\varphi: G\to H$ 是群同态。证明：$\ker\varphi\trianglelefteq G$。反之，给定 $N\trianglelefteq G$，构造一个核为 $N$ 的同态。
提示
$\forall g\in G, k\in\ker\varphi$：$\varphi(gkg^{-1}) = \varphi(g)\varphi(k)\varphi(g)^{-1} = \varphi(g)\cdot e\cdot\varphi(g)^{-1} = e$，故 $gkg^{-1}\in\ker\varphi$。
反之，商映射 $\pi: G\to G/N$ 的核就是 $N$。这说明：正规子群 = 同态的核。
练习 4（应用第一同构定理）
用第一同构定理证明 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong \mu_n$（$n$ 次单位根群）。
提示
取 $\varphi: \mathbb{Z}\to\mathbb{C}^\times$，$k\mapsto e^{2\pi i k/n}$。$\ker = n\mathbb{Z}$，$\mathrm{Im} = \mu_n$。由定理 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong\mu_n$。
练习 5（同构与不同构）
判断下列各对群是否同构：
- $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 与 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$
- $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 与 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$
- $S_3$ 与 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$
提示
(1) 同构（中国剩余定理 / $\gcd(2,3)=1$）。
(2) 不同构（前者循环 = 有 $4$ 阶元，后者每非单位元都是 $2$ 阶）。
(3) 不同构（$S_3$ 非阿贝尔，$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 阿贝尔）。